理解RSA演算法

摘要： 本文是看完阮一峰的"RSA演算法原理"後所做的筆記,有興趣的同學可以移步至: RSA演算法原理--阮一峰 一.簡介 非對稱加密演算法:非對稱加密需要兩個金鑰,公鑰和私鑰. 1.乙方生成兩把金鑰(公鑰和私鑰).公鑰是公開的,任何人都可以獲得,私鑰是保密的...

本文是看完阮一峰的"RSA演算法原理"後所做的筆記,有興趣的同學可以移步至: RSA演算法原理--阮一峰

一.簡介

如果公鑰加密的資訊只有私鑰解得開,只要私鑰不洩露,通訊就是安全的.

二.尤拉函式

尤拉函式 ,在數論中，對正整數n，尤拉函式φ(n)是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目.例如:φ(8) = 4,因為1,3,5,7均與8互質.

通式:

其中p1,p2....pn為x的所有質因數,x為不為0的整數.注意： 每種質因數只一個 。

比如:12 = 2×2×3 那麼 φ（12）=12 （1-1/2）

(1-1/3)=4

第一種情況

如果n=1，則 φ(1) = 1 。因為1與任何數（包括自身）都構成互質關係。

第二種情況

如果n是質數，則 φ(n)=n-1 。因為質數與小於它的每一個數，都構成互質關係。比如5與1、2、3、4都構成互質關係。

第三種情況

如果n是質數的某一個次方，即 n = p^k (p為質數，k為大於等於1的整數)，則

這是因為只有當一個數不包含質數p，才可能與n互質。而包含質數p的數一共有p

(k-1)個，即1×p、2×p、3×p、...、p

(k-1)×p，把它們去除，剩下的就是與n互質的數。

第四種情況

如果n可以分解成兩個互質的整數之積

n = p1 × p2則 φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

三.尤拉定理

如果兩個正整數a和n互質，則n的尤拉函式 φ(n) 可以讓下面的等式成立：

也就是說，a的φ(n)次方被n除的餘數為1。或者說，a的φ(n)次方減去1，可以被n整除。比如，3和7互質，而7的尤拉函式φ(7)等於6，所以3的6次方（729）減去1，可以被7整除（728/7=104）。

尤拉定理有一個特殊情況。

假設正整數a與質數p互質，因為質數p的φ(p)等於p-1，則尤拉定理可以寫成

四.模反元素

如果兩個正整數a和n互質，那麼一定可以找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的餘數是1。

ab ≡ 1( mod n )

這時，b就叫做a的"模反元素"。

比如，3和11互質，那麼3的模反元素就是4，因為 (3 × 4)-1 可以被11整除。顯然，模反元素不止一個， 4加減11的整數倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...}，即如果b是a的模反元素，則 b+kn 都是a的模反元素。

五.RSA演算法原理

1.金鑰生成步驟

n = p * q = 61 * 53 = 3233.

n的長度就是金鑰長度。3233寫成二進位制是110010100001，一共有12位，所以這個金鑰就是12位。實際應用中，RSA金鑰一般是1024位，重要場合則為2048位。

(3) 計算n的尤拉函式φ(n).根據上面所介紹的尤拉定理第四種情況:

φ(n) = φ(3233) = φ(61) * φ(53) = 60 * 52 = 3120;

ed ≡ 1 (mod φ(n))

這個公式等價於

ed - 1 = kφ(n)

於是，找到模反元素d，實質上就是對下面這個二元一次方程求解。

ex - φ(n)y = 1

那麼,已知e = 17,φ(n) = 3120 ,求x的值

17x - 3120y = 1

2.RSA演算法的可靠性

老張進行了這些計算後,整理了下上面所提到的數字:

隨機選擇的兩個質數:p 61 , q 53
質數的乘積:n
n的尤拉函式φ(n):3120
隨機選擇的整數e:17
e的模反元素d:2753

這六個數字之中，公鑰用到了兩個（n和e），其餘四個數字都是不公開的。其中最關鍵的是d，因為n和d組成了私鑰，一旦d洩漏，就等於私鑰洩漏。

老張想,有沒有可能在已知n和e的情況下,也就是知道公鑰的情況下,推匯出d?

（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）n=pq。只有將n因數分解，才能算出p和q。

結論：如果n可以被因數分解，d就可以算出，也就意味著私鑰被破解。可是，大整數的因數分解，是一件非常困難的事情.

"對極大整數做因數分解的難度決定了RSA演算法的可靠性。換言之，對一極大整數做因數分解愈困難，RSA演算法愈可靠。

假如有人找到一種快速因數分解的演算法，那麼RSA的可靠性就會極度下降。但找到這樣的演算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA金鑰才可能被暴力破解。到2008年為止，世界上還沒有任何可靠的攻擊RSA演算法的方式。

只要金鑰長度足夠長，用RSA加密的資訊實際上是不能被解破的。"

3.加密和解密

有了公鑰和金鑰，就能進行加密和解密了。

1.加密要用公鑰 (n,e)

假設老張要向老王傳送加密資訊m，他就要用老王的公鑰 (n,e) 對m進行加密。這裡需要注意，m必須是整數（字串可以取ascii值或unicode值），且m必須小於n。

所謂"加密"，就是算出下式的c：

me ≡ c (mod n)

老王的公鑰是 (3233, 17)，老張的m假設是65，那麼可以算出下面的等式：

6517 ≡ 2790 (mod 3233)

於是，c等於2790，老張就把2790發給了老王。

2.解密要用私鑰(n,d)

老王拿到老張發來的2790以後，就用自己的私鑰(3233, 2753) 進行解密。可以證明，下面的等式一定成立：（證明過程略，有興趣可以看阮一峰的部落格）

cd ≡ m (mod n)

也就是說，c的d次方除以n的餘數為m。現在，c等於2790，私鑰是(3233, 2753)，那麼，老王算出

27902753 ≡ 65 (mod 3233)

因此，老王知道了老張加密前的原文就是65。

我們可以看到，如果不知道d，就沒有辦法從c求出m。而前面已經說過，要知道d就必須分解n，這是極難做到的，所以RSA演算法保證了通訊安全。

你可能會問，公鑰(n,e) 只能加密小於n的整數m，那麼如果要加密大於n的整數，該怎麼辦？有兩種解決方法：一種是把長資訊分割成若干段短訊息，每段分別加密；另一種是先選擇一種"對稱性加密演算法"（比如DES），用這種演算法的金鑰加密資訊，再用RSA公鑰加密DES金鑰。