深入理解RSA演算法
本文結構：
- 一些基本的數學知識
- RSA的具體過程
- 為什麼RSA的私鑰解密一定能得到明文
- RSA演算法可靠嗎
- RSA演算法的一些其他特徵
假設alice想要通過rsa演算法在公網上，將訊息加密傳遞給bob，他們應該怎麼做呢？
分為以下幾個步驟：
1.bob生成一堆共私鑰，將公鑰在網上公開，私鑰自己儲存
2.alice通過bob的公鑰加密明文訊息m，得到密文c，並將密文c傳遞給bob
3.bob用自己的私鑰解密密文c，得到明文m
一些基本的數學知識
- 質數（素數）p ：只有1和他本身能被自己整除。
-
互質
：如果兩個正整數，除了1以外，沒有其他公因子，我們就稱這兩個數是ofollow,noindex">互質關係
比如，15和32沒有公因子，所以它們是互質關係。這說明，不是質數也可以構成互質關係。 - 尤拉函式φ(n) ：小於n的正整數中，與n互質的整數的個數。例如φ(8)=4（因為小於8的正整數中只有1,3,5,7與8互質）
- 若n為質數，則φ(n)=n-1
- n如果可以分為兩個質數（p,q）的乘積，則φ(n)=φ(p*q)=φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)
- 尤拉定理 ：如果兩個正整數a和n互質，則：
a^φ(n)≡1 mod n。
特別的，當n為質數時： a^(n-1)≡1 mod n
- 模反元素 : 如果兩個正整數a和n互質，那麼一定可以找到整數b，滿足：
a×b≡1 mod n
（ab-1 被n整除，或者說ab被n除的餘數是1）
這時，b就叫做a的"模反元素" 。
RSA的具體過程：
祕鑰的產生
- bob選擇兩個保密的大質數p和q（這裡假設是p=61,q=53）
-
計算n=p×q=61×53=3233，φ(n)=φ(p*q)=φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)=60×52=3120
這裡n的長度就是祕鑰的長度 。3233寫成二進位制是110010100001，一共有12位，所以這個金鑰就是12位。 -
選一個整數e，滿足1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質。
bob就在1到3120之間，隨機選擇了17。（實際應用中，常常選擇65537。） - 求解e關於φ(n)的模反元素d（由於e與φ(n)互質，所以d一定存在）
ed ≡ 1 (mod φ(n)) 等價於 ed - 1 = kφ(n)，這裡就是17d-1 =3120k
很容易求得(d,k)=(2753,-15)，即 d=2753。
-
n和e封裝成公鑰，n和d封裝成私鑰
這個例子中 n=3233，e=17，d=2753，所以公鑰就是 (3233,17)，私鑰就是（3233, 2753）。
加密
假設alice要向bob傳送明文資訊m，則用bob的公鑰 (n,e) 對m進行加密。
並且加密時必須將明文進行位元串分組，保證每個分組對應的十進位制數小於n，即保證m<n。
c ≡ m^e (mod n)
這裡m假設是65，那麼可以算出下面的等式：65^17 ≡ 2790 (mod 3233)
於是，c等於2790，alice就把2790發給了bob。
解密
bob拿到2790以後，就用自己的私鑰(n=3233, d=2753) 進行解密。
m ≡ c^d (mod n)
現在，c等於2790，私鑰是(3233, 2753)，那麼，bob算出
2790^2753 ≡ 65 (mod 3233)
因此，bob知道了alice加密前的原文就是65。
為什麼RSA的私鑰解密一定能得到明文
對於密文的解密運算為：
m ≡ c^d (mod n)
現在來證明上面的公式恆成立。將c ≡ m^e (mod n) 代入右邊，可得
右邊=c^d (mod n)=(m^e )^d(mod n) = m^(ed)(mod n)
又由於ed ≡ 1 (mod φ(n)) 可知必有ed=kφ(n)+1 ，故有
右邊=m^(ed)(mod n) = m^(kφ(n)+1)(mod n)
下面分兩種情況證明m^(kφ(n)+1)(mod n) = m ：
1）明文m與n互質。那麼由尤拉定理知
m^φ(n) ≡ 1 mod n
於是 m^( kφ(n) ) ≡ 1 mod n
於是 m^( kφ(n) + 1 ) ≡ m mod n = m
2）明文m與n不互質：
m與n不互質，說明m與n有公因子。
又因為n=pq，且p和q都為質數，所以n的因子只有p,q，那麼m與n的公因子只能是p或者q。所以m為p或q的倍數 。
假設m=tp,(t為一正整數),且t與q互質 （若t與q不互質，假設t=kq，則m=tp=kpq=kn，違反了m<n）
因為m=tp與q互質，由尤拉定理知
m^φ(q)≡ 1 mod q
兩邊同時取kφ(p)次方，得
[m^φ(q) ]^(kφ(p)) ≡ 1 mod q
==>m^[kφ(q)φ(p)] ≡ 1 mod q
==>m^(kφ(n)) ≡ 1 mod q
==>m^(kφ(n)) = 1 + rq (r為一正整數)
==>m^(kφ(n)+1) = tp(1 + rq) = tp + tprq = m + trn(兩邊同時乘上m=tp)
==>m^(kφ(n)+1) ≡ m mod n
m ≡ c^d (mod n) 得證。
RSA演算法可靠嗎
回顧上面的金鑰生成步驟，一共出現六個數字：
p(保密) q(保密) n(公開) φ(n)(保密) e(公開) d(保密)
公鑰用到了兩個（n和e），私鑰用到了兩個（n和d）。
那麼，有無可能在已知n和e的情況下，推匯出d？
（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。 （2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。 （3）n=pq。只有將n因數分解，才能算出p和q。
結論：如果n可以被因數分解，d就可以算出，也就意味著私鑰被破解
但是大整數的因數分解是非常困難的，n越大，演算法約安全，目前推薦用的rsa祕鑰長度為2018及上。
"對極大整數做因數分解的難度決定了RSA演算法的可靠性。換言之，對一極大整數做因數分解愈困難，RSA演算法愈可靠。
RSA演算法的一些其他特徵
同祕鑰RSA有乘法同態。
簡單來說：
假設：明文m=m1 * m2 , 且c1位m1對應的密文，c2位m2對應密文。
則：m對應的密文m=c1 * c2
原理：
若： A * B = C mod n
則 ：A^d ∗ Bd=C d mod n
同價加密的一些相關知識：https://yeasy.gitbooks.io/blockchain_guide/content/crypto/homoencryption.html