Bernstein多項式和連續函式的多項式近似

開學前隨手翻了一下數值分析的教材，發現裡面提到了一個定理

設$I = [0, 1]$，$f \in C(I)$，那麼存在一串多項式 $\{ p_n \}$，滿足 $\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in I} |p_n(x) - f(x)| = 0$。

定理中的 $p_n$ 可以構造性的找出來，下面的Bernstein多項式就是一種可能

這有一個概率論版本的證明：

首先考慮一串獨立的服從Bernoulli分佈的隨機變數$X_1, X_2, \cdots$，滿足$\mathbb P[X_i = 1] = x$。令$S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_n$，那麼有

那麼對於$\delta > 0$有如下估計

由於$f \in C(I)$，其在$I$上一致連續並且有界，對於$\varepsilon > 0$，有$\delta > 0$使得當$|a - b| < \delta$時有$|f(a) - f(b)| < \varepsilon$。另外，根據Chebyshev不等式並且注意到$\mathbb E[S_n] = x$