洛谷 P1045 麥森數
摘要：
題目連結：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1045
題目意思：本題目的主要意思就是給定一個p，求2p
-1的位數和後500位數。
解題思路：
首先看一下資料範圍
...
題目連結：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1045
題目意思：本題目的主要意思就是給定一個p，求2p -1的位數和後500位數。
解題思路：
首先看一下資料範圍 ，我們不難發現此題必須要用高精度來做。但是每一次高精度乘法的複雜度是o(n)的（n為數字的位數），所以很顯然需要加一個快速冪。 但是事實證明快速冪+高精度也會超時，所以我們必須進一步優化時間。
根據題意，我們可知，只需要記錄下後500位數即可，這裡牽扯到一點點數論的知識，這一個數字的後500位是與500位以外的數是沒有一點關係的，根據這個性質，我們就可以開一個500大的陣列，每一次記錄後500位的數字即可。
但是此題還有一個難點，就是求總的位數，這裡要運用數論知識。
我們不難發現，2n 的最後一位不可能是0，所以2p 和2p-1 的位數是一樣的，我們只需求出2p 的位數即可。
我們知道，如果某個數是 10n ，那麼這個數就有 n+1位數字。我們知道，log10(2)意思是10的多少次方=2，所以10log10(2) =2。所以我們把2p 寫成（ 10log10(2) )p ， 再根據冪的平方運演算法則寫成 10log10(2)*p ，而 10log10(2)*p 的位數是 log10(2)*p+1，也就是2p 的位數是 log10(2)*p+1，也就是2p -1的位數是log10(2)*p+1。
最後一定要注意輸出格式！！本人因此爆零。。
附程式碼：
1 #include<iostream>//快速冪：2的p次方=（2的平方）的p/2次方 = （（2的平方）的平方）的 p/2/2次方......
2 #include<cstdio>//f存的就是底數——2,2的2次方，2的二次方的二次方......
3 #include<cmath>//res 存的就是最後的答案
4 #include<cstring>//sav是每一次高精度乘法的臨時陣列
5 using namespace std;
6 int p,f[510],res[510],sav[510];//陣列開500多一點已足夠
7 void rr1() {//rr1是將答案更新，乘上現在的底數
8memset(sav,0,sizeof(sav));
9for(int i = 1;i <= 500; i++)//動手畫一下 ，列一個豎式，就會發現[i]*[j]得到的數字其實是[i+j-1]位上的數字
10for(int j = 1;j <= 500; j++)//這裡只是乘，還沒有進位
11if(i+j<=505) sav[i+j-1] += res[i] * f[j];
12for(int i = 1;i <= 500; i++) {//進位
13sav[i+1] += sav[i] / 10;
14sav[i] %= 10;
15}
16memcpy(res,sav,sizeof(res));//把求出來的陣列sav更新到res中
17 }
18 void rr2() {//rr2求得是底數的平方的值，存在f中
19memset(sav,0,sizeof(sav));//同上
20for(int i = 1;i <= 500; i++)
21for(int j = 1;j <= 500; j++)
22if(i+j<=505)sav[i+j-1] += f[i] * f[j];
23for(int i = 1;i <= 500; i++) {
24sav[i+1] += sav[i] / 10;
25sav[i] %= 10;
26}
27memcpy(f,sav,sizeof(f));
28 }
29 int main() {
30scanf("%d",&p);
31printf("%d\n",(int)(log10(2) * p + 1));//先輸出位數
32res[1] = 1;
33f[1] = 2;//初始化要為2，否則會一直乘1
34while(p != 0) {//快速冪
35if(p % 2 == 1) rr1();//任何一個數一直/2最後一定是1，這樣就能確保更新答案
36p /= 2;//rr1,rr2為高精度乘法
37rr2();//每一次都更新一遍f，也就是底數的平方
38}
39res[1] -= 1;
40for(int i = 500;i >= 1; i--)
41if(i != 500 && i % 50 == 0) printf("\n%d",res[i]); //注意輸出格式。
42else printf("%d",res[i]);
43return 0;
44 }
AC程式碼