將水滴緩慢滴落到絕對光滑水平面上，兩者間接觸面積有多大？
嗯，這是個很有意思的問題，看起來好像很容易，但是實際上沒那麼簡單。
原則上來說，一滴水滴到絕對光滑平面上，那麼除了水維持體積不變的內能以外，能變化的有：水和空氣的表面能，水和平面的表面能，平面和空氣的表面能，重力勢能。
那麼簡單地說，水滴到平面上的過程，就是這個總能量最小化的過程。知道了這個過程，你就可以算水和表面接觸面積了。
好的。原理我們知道了。如何實際操作呢？
- brute-force
像這種問題呢，最粗暴的方式當然是跑一個數值模擬。比如說，我們可以建立一個水滴的網格模型，然後每個頂點上用邊界元方法對錶面張力和重力在時域積分。為了保證水的不可壓性，每一步對速度場做一個Helmholtz分解，然後取無散度的那部分進行積分得到位置的變化。就像這樣：
這樣我們可以得到每時每刻這個水滴與水平面的接觸面積。不只是面積，你還可以把水滴畫出來，像下面這樣：
2. 準靜態
好了，題主大概會問，有沒有簡單點的方法？
那我們就得做一些假設了。下面我們忽略運動過程，只關心水滴穩定後的狀態。那麼這個時候水滴受力平衡，沒有速度，我們可以試圖直接求解它的幾何形狀，像下面這樣：
根據托馬斯.楊在1804年發現的規律，穩定狀態下介面壓差和曲率成正比；拉普拉斯進一步發現可以寫成以下的微分方程。所以這個叫楊-拉普拉斯方程：
其中兩撇是r對z的二次導數。整個左邊其實就是這個形狀的表面曲率；右面的b是O點的曲率半徑，可以看成水滴體積的函式（因為體積固定）， 
是單位長度下水和空氣密度差產生的力， 
是水和空氣介面的表面張力係數。
對這個微分方程做數值求解，就能得到水滴形狀，然後就能知道接觸面積了。
3. 橢球近似
好了，題主大概會問，有沒有再簡單點的方法？
還是有的。我們觀察到，上面這個水滴，在表面張力對形狀影響遠大於重力的情況下，大概是個被切掉一點的、縱軸壓扁的橢球。我們可以假設就是個橢球，
通過幾何關係，可以得到下面的方程組：
其中 和 
相當於兩個引數，後者是橢球兩軸之比。如果水滴體積為 
，那麼 
就是體積為 的球的半徑，最後我們要求的就是上式中的 
，就是水和平面接觸面的半徑。
那麼我們還差兩個引數不知道，這就需要根據橢球形狀計算表面能，然後計算能量最小化情況下的形狀。這個能量 
可以寫成下面這樣：
其中 
是重力勢能和表面能影響的比值，也叫邦德數(bond number)，以及，
通過數值方法，對 求最小化，就可以得到兩個引數，然後就可以計算出水和平面接觸的表面積了！
那麼這個方法怎麼樣呢？
比較一下，實線是解(2)中的微分方程得到的水滴形狀，虛線是橢球近似模型得到的水滴形狀，可以看到橢球近似的方法還是很準確的。
參考文獻：
水滴的網格模擬：Da, Fang, et al. "Surface-Only Liquids." ACM Transactions on Graphics (TOG) 35.4 (2016): 78.
水滴的橢球近似模型：Lubarda, Vlado A., and Kurt A. Talke. " Analysis of the equilibrium droplet shape based on an ellipsoidal droplet model ." Langmuir 27.17 (2011): 10705-10713.
來源：知乎 www.zhihu.com
作者：Raymond Fei
【知乎日報】千萬使用者的選擇，做朋友圈裡的新鮮事分享大牛。點選下載
此問題還有8 個回答，檢視全部。