資料結構之二叉搜尋樹、AVL自平衡樹
前言
最近在幫公司校招~~ 所以來整理一些資料結構方面的知識，這些知識呢，光看一遍理解還是很淺的，看過跟動手做過一遍的同學還是很容易分辨的喲~
一直覺得資料結構跟演算法，就好比金庸小說裡的《九陽神功》，學會九陽神功後，有了內功基礎，再去學習其他武功，速度就有質的提升
內容大概包含這些，會分多篇文章來整理：
- 二叉搜尋樹
- 平衡二叉樹（AVL）
- 二叉堆
- 堆排序
- 四叉樹
- 八叉樹
- 圖，深度優先DFS、廣度優先BFS
- 最短路徑
二叉樹
二叉樹，也就是每個節點最多有兩個孩子的樹。多用於搜尋，查詢，還有可以用來求最短編碼的哈弗曼樹，也稱為最優二叉樹。
二叉排序/搜尋樹
如圖，樹的每個有孩子的節點都滿足： 左節點的值<根節點的值<右節點的值條件的樹 ，稱為二叉排序樹，也叫二叉搜尋樹。
如果對這個樹進行 中序遍歷 ，就能得到一個排序的數列，非常簡單，下面貼出插入操作跟遍歷的程式碼
插入操作
public void Add(BinaryTree node)
{
if (node.Value < Value)
{
if (this.Left != null)
{
this.Left.Add(node);
}
else
{
this.Left = node;
}
}
else
{
if (this.Right != null)
{
this.Right.Add(node);
}
else
{
this.Right = node;
}
}
}
中序遍歷輸出排序列表
public void InOrder(List<int> list)
{
if (Left != null)
{
Left.InOrder(list);
}
list.Add(this.Value);
if (Right != null)
{
Right.InOrder(list);
}
}
但是二叉排序樹極端的情況，效率會變成連結串列線性結構，這樣查詢起來 時間複雜度會變成O(n) ，就失去了樹形結構的意義，如圖：
這時就要引出我們的另外一種二叉樹樹結構了
平衡二叉樹
平衡二叉樹（AVL）簡單來說就是插入的時候，要保證子節點的平衡，別老往一邊一直插入下去，那樣又成了連結串列效率了
首先來搞懂這個幾個定義
平衡因子：即左子樹的高度減去右子樹的高度
平衡二叉樹上所有節點的平衡因子都必須為：-1、0和1。否則該二叉樹就不是平衡二叉樹
如下圖，圖左邊是一顆平衡二叉樹，圖右根節點平衡因子為-2，則不是平衡二叉樹
如何保持樹的平衡
每當插入一個節點的時候，都檢查這次插入是否會破壞平衡性，若是，則找出最小不平衡子樹，在保持二叉排序樹的前提下，進行相應旋轉，使之成為新的平衡子樹。
通常會有四種旋轉情況：
單向右旋平衡處理
也有地方稱為Left Left旋轉，是不是覺得很奇怪，一下左，一下右邊的，它估計是想把你轉暈，好套出你的花唄密碼。
那麼到底是什麼意思呢，請看下圖
這棵樹有三個節點：6，4，2
我們把節點2當成是最新插入進來的節點，由於這個節點2的插入，導致節點6的平衡因子變成了2，不符合-1、0、1的規定，破壞了平衡性，所以我們需要對節點6進行右旋轉，而節點2又是節點6的 Left節點的Left節點 ，所以也稱為LL旋轉。
右旋操作
也就是如果結點6的左孩子節點4有右孩子，則將節點4的右孩子變成節點6的左孩子，最後將節點6變成節點4的右孩子
單向左旋平衡處理
左旋平衡處理也叫RR旋轉，是LL的映象操作
雙向旋轉（先右後左）平衡處理 (Right Left)
為什麼會有這種情況出現呢，因為我們的平衡樹，首先也是一顆二叉排序樹，必須滿足左節點<根節點<右節點的插入規則。
所以如下圖，節點4插入導致樹失去平衡，單向旋轉已經不能滿足要求了，需要先讓節點6右旋，然後再把節點2左旋
雙向旋轉（先左後右）平衡處理 (Left Right)
同理，是RL的映象操作
程式碼實現
//右旋轉
public BinaryTree RightRotate(BinaryTree root)
{
BinaryTree lchild = root.Left;
root.Left = lchild.Right;
lchild.Right = root;
return lchild;
}
//左旋轉
public BinaryTree LeftRotate(BinaryTree root)
{
BinaryTree rchild = root.Right;
root.Right = rchild.Left;
rchild.Left = root;
return rchild;
}
//先左後右旋轉
public BinaryTree LeftRightRotate(BinaryTree root)
{
root.Left = root.Left.LeftRotate(root);
return RightRotate(root);
}
//先右後左旋轉
public BinaryTree RightLeftRotate(BinaryTree root)
{
root.Right = root.Right.RightRotate(root);
return LeftRotate(root);
}
//計算平衡因子，取絕對值
public int Balance(BinaryTree root)
{
int val = 0;
if (root.Left != null) val += Height(root.Left);
if (root.Right != null) val -= Height(root.Right);
return Math.Abs(val);
}
//計算樹的高度
public int Height(BinaryTree root)
{
int leftHeight = 0;
int rightHeight = 0;
if (root != null && root.Left != null)
{
leftHeight += Height(root.Left);
}
if (root != null && root.Right != null)
{
rightHeight += Height(root.Right);
}
return rightHeight > leftHeight ? ++rightHeight : ++leftHeight;
}
插入操作
public BinaryTree Inster(BinaryTree root, int key)
{
if (root == null)
{
root = new BinaryTree(key);
}
else if (key < root.Value)//插入到左邊
{
root.Left = Inster(root.Left, key);
if (Balance(root) > 1)//插入左節點導致樹失衡了
{
if (key < root.Left.Value)//LL處理，右旋
{
root = RightRotate(root);
}
else
{
root = LeftRightRotate(root);//LR處理，先左後右
}
}
}
else
{
root.Right = Inster(root.Right, key);
if (Balance(root) > 1)//插入右節點導致失衡
{
if (key > root.Right.Value)//RR處理， 左旋
{
root = LeftRotate(root);
}
else
{
root = RightLeftRotate(root);//RL處理，先右後左
}
}
}
return root;
}
使用平衡二叉樹後，查詢起來時間複雜度就從O(n)變為了O( log n)。
總結
平衡二叉樹的優點在於因為樹結構維護的較好，所以搜尋查詢速度很快，但在插入，刪除的時候，為了保持樹的平衡會做一次或多次旋轉。
適合用於插入刪除操作少，而搜尋操作很多的情況。
為了減少插入，刪除在旋轉方面的消耗，另一種自平衡樹結構出現了
它就是： 紅黑樹
紅黑樹不追求"完全平衡"，即不像AVL那樣要求節點的 |平衡因子| <= 1，它只要求部分達到平衡，但是提出了為節點增加顏色，紅黑是用非嚴格的平衡來換取增刪節點時候旋轉次數的降低，任何不平衡都會在三次旋轉之內解決，而AVL是嚴格平衡樹，因此在增加或者刪除節點的時候，根據不同情況，旋轉的次數比紅黑樹要多。
學會了AVL在去看紅黑樹也就很簡單了~~