試論 co- 的譯法：餘弦詞源漫談
本文作為生日禮物題獻給@興趣使然千里冰封，內容以深度優先遍歷的方式論述。
題圖為鬼人正邪。
從勾股定理到三角函式
數之法，出於圓方。圓出於方，方出於矩。矩出於九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之外，半其一矩。環而共盤，得成三、四、五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。
這段話出自我國的第一部數學著作《周髀算經》，開篇即是商高對勾股定理的最早表述。因此勾股定理又稱商高定理。其中「句廣三，股修四，徑隅五」為勾股定理最經典的一個特例。後人則直接簡稱為「勾三股四弦五」來表述勾股定理。
呃..簡稱？簡在哪了？句怎麼變成了勾？徑怎麼變成了弦？「廣」「修」「隅」又是什麼鬼？這要從甲古文說起。
先說勾。其實漢字在隸變之前並沒有這個字，而只有「句（gōu）」字。句源於丩，甲古文和金文如下圖所示，很像一個鉤子上掛了東西：
丩在演變成金文時，多了下面的口字，許是用來鉤魚嘴的。一直到小篆，下面這個口都是可選的，後來才慢慢定了下來。在漢字的書體隸變時，口變成了厶，才有了現在的勾。同樣因隸變而成為異體字的的還有「強」和「強」。
那麼「句」又是如何有了「語句」的意思呢？原因是古文中沒有標點，教學時要明句讀。為了輔助標記，便在斷句處的字旁邊勾一個 ，久而久之，「勾」便有了語句的意思。勾句自此分化。興許是為了表示區分，用帶厶的表示勾批，用帶口的表示語句。至於硃批句讀畫出的圓圈變成了句號，那是後話了。
說到這裡，不得不提一下被萬千程式設計師吐槽的「控制代碼（handle）」。「柄」好理解，「句」哪來的？
控制代碼乎？勾柄乎？
「控制代碼」一詞最早的考證來自於一本編譯原理的著作，指的是語句中最先被歸約的部分。維基百科中該詞條給出的來源如下：
康奈爾大學副教授David Gries所著的《Compiler Construction for Digital Computer》. John Wiley and Sons, New York, 1971, 491 pages, ISBN 0-471-32776-X，給出如下定義：
(2.3.10) DEFINITION. A handle of any sentential form is a leftmost simple phrase.
在該書的中譯本： D.格里斯著,仲萃豪等譯：《數字計算機的編譯程式構造》，科學出版社, 1976年版，給出瞭如下翻譯：
(2.3.10) 定義. 任一句型的控制代碼就是此句型的最左簡單短語。
「句」字在漢語中發 gōu 音時，做「查考」之義，如:句校(查考校核);句考(查考);句稽(查考;核算)。
而「句」作「查考」解的來源，則是古人在查閱卷集時「勾批」的動作衍生而來的。
然而，handle 還有另一個意思：
在程式設計中，控制代碼（handle）是 Windows 作業系統用來標識被應用程式所建立或使用的物件的整數。其本質相當於帶有引用計數的智慧指標。
這個解釋更為廣大程式設計師所熟知。在這裡，「控制代碼」變成了用以索取物件這個大頭的小鉤子，正如提起一隻櫻桃時雙指捏住的果柄。而在使用 git cherry-pick 時，雜湊值（hash）便成了對應提交（commit）的勾柄（handle）或指標（pointer）。
handle 本有兩義，在翻譯成漢語時也應區別對待。仲老古漢語修為頗深，在翻譯語句的 handle 時想到了「控制代碼」。而後人遇到了作為指標的 handle，想也不想便直接拿來用了。
網上有人說「控制代碼」是「勾柄」打錯了字，雖然臆測，不過也不失為一個好寫法。有鑑於此，我比較傾向於 「控制代碼」的句應該讀jù還是gōu？ - 思無邪SyiMyuZya的回答 ，即表示語句（sentence）時，讀 jù。而作指標解時，「勾柄」則是現代漢語中更好的寫法。
其實「勾柄」這個東西，99%的中國人都見過，也都用過。用白話說，勾柄就是彎彎的「把手」，它長這樣：
而還有一種東西，它在某寶上的名字叫「勾柄直杆傘」，它長這樣：
相信你已經知道什麼是控制代碼了。
跑個題：「套接管」長這個樣子：
修廣長寬，徑隅成弦
說完了句，後面就好說了。「修」表示長，「廣」表示寬。「寬廣」「修長」，漢語中很常見的近義字組詞。《詩經·小雅·六月》中亦有「四牡修廣，其大有顒」來形容戰馬的長寬高大。
「股」是大腿，「句」是曲折勾起來的腳。用勾股來形容短邊長邊，再合適不過了。
（ 此處應有冰冰黑絲勾股照.jpg ）有趣的是，廣本意為寬，到了矩形裡卻成了短邊。
「折矩」語出《禮記 - 玉藻》：「周還中規，折還中矩。」後亦有《復莊衛生書》：「周規折矩，尺步繩趨」。用矩尺定的折角，就是直角。
在「徑（徑）」字中，「彳」為「行」之省。「巠」意為「縱向的」「高低走向的」「陡直的」。「彳」與「巠」聯合起來表示「陡直的山路」。「遠上寒山石徑斜」就是這個意思。
「隅」為角落，「偏安一隅」就是這個意思。把一根棍子搭在牆角，就是徑隅。
「故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。」
這句話翻譯成現代漢語就是：如果有一個直角，短邊寬三，長邊長四，那麼搭在這個角上的斜邊就是五。
現在還有個問題：徑是怎麼變成弦的？
弦即弓弦，下面這個圖形叫「弓形」，其中的線段 AB 就是「弦」：
當弦最長時，所得弓形即為半圓。
周朝的《周髀算經》雖然記載了商高對勾股定理的描述，但並沒有給出嚴格的證明。到了三國時期，趙爽在他的《周髀算經注·勾股圓方圖說》中第一次給出了勾股定理的嚴格證明。
到了這裡，勾股定理和圓的聯絡已呼之欲出，徑也自然變成了直角三角的弦。魏晉時期的《九章算術》所用術語已於今無二：「勾股各自乘，並之，為弦實。開方除之，即弦。」我們終於可以說「勾三股四弦五」了。隨之而來的「周三徑一」，徑也有了圓的直徑的意思。後世宋朝的祖沖之也沿用了這一名詞。
西學東漸，餘正相生
時光荏苒，轉眼已到了明朝末年，這是第一次西學東漸開始的時代。
三角學傳入中國，始於明崇禎 4 年（1631年）。是年，鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測》，作為曆書的一部份呈獻給朝廷，這是我國第一部編譯的三角學。在《大測》中，首先將 sine 譯為「正半弦」，簡稱「正弦」，這就成了「正弦」一詞的由來。
其實 sine 源於拉丁語 sinus，本意為「衣物的褶邊，曲線，女人的胸部」。可是本來表示彎弧的詞，怎麼又變成直的弦了呢？
原來在最初，印度人將連結弧的兩端的弦稱為 jiba，源自梵語 jyā（弓弦）。後來 jiba 這個詞譯成阿拉伯語時，和 jaib（捆綁，胸部，衣服的褶邊）搞混了，被誤解為「彎曲」「凹處」，成了阿拉伯語的「dschaib」。到了 12 世紀中葉，義大利克雷莫納的 Gherardo 在將一本阿拉伯文的幾何學著作轉譯成中世紀拉丁語時，把這個詞直譯成了「sinus」。1590 年代，Thomas Fale 在他論述日晷的著作《Horologiographia, the Art of Dialling》一書中首先用 sinus 來表示現代三角學意義上的正弦函式。之後就演變成了英語中的 sine。這樣一來，「弧」就被掰直成「弦」了。
而徐光啟並未受此影響，因為他直接看到了三角函式的圖：
當然他看到的並不是這張圖，但相信與此類似。中國古代研究圓時，向來以直徑為基準，因此有「周三徑一」的說法。徐光啟在《大測》中，以圓的直徑為基準，∠AOB 正對弓形 ADB 的弦 AB，即為正弦，線段 AC 則為正半弦。
而他在和利瑪竇合譯《幾何原本》第三卷《圓與角》時，發現書中以半徑為基準。由於三角函式的「正弦」描述的其實是正弦與直徑之比，而等比縮放不改變比例關係，因此正半弦與半徑之比自然還應該叫「正弦」。
三角之於圓，有三條直線：絃線，切線和割線。sine line 為絃線，tangent line 為切線，secant line 為割線。如果把下圖的 sin 和 tan 沿橫軸對稱補上，sec 以圓心對稱補上，那就是漢語裡原本意義上的弦、切和割了。
相信不少人曾有這樣的困惑：「切」和「割」有什麼區別呢？其實在日常生活中，二者意思很接近。「割」就是割開，一分為二；「切」呢？還是切開的意思。
然而在「切線」這裡，「切」其實應該讀 qiè。《廣雅》中有「切，摩也。」的解釋。確切來說，就是「密合，貼近，緊挨著」的意思。「切脈」不是割脈，而是手指貼著脈來感受；「切膚之痛」也不是面板被劃破了，而是與自身關係極為密切，自己能切身感受的痛苦。如果你是還不能理解，那麼別人在對你表示親切問候，深切關懷時，請做好防禦準備（病嬌控除外）。
「切」讀 qiē 時，和割還是有些區別的。割其實還有個「劃拉」的動作，你可以從「割肉」「切水果」感受出來。
到這裡，「正弦」「正切」「正割」已經溯本清源。現在終於輪到本文的主角「餘」了。
我們還來看這張圖。現在想象你站在圓心 O 點，向 E 處看去。∠AOB 是你可以清楚看到的範圍，正前方的正弦是你看到的畫面。然而當你注視前方時，你會還會發現視角的兩邊也能感受到模糊的畫面，這叫做眼角的「餘光」。餘光所看到的畫面（圖中藍線），就是餘弦。
「餘」即剩餘，我們在數學中最早接觸的「餘」就是「餘數」，表示除不盡剩下的數。如果我們把正視的角叫「正角」∠AOB，那麼餘光所視的角就是它的「餘角」∠AOF。於是我們得到了餘角的定義：
若兩角之和為直角（即 90°），則稱這兩個角「互為餘角（complementary angles）」，簡稱「互餘」。餘角所對的弦，就是餘弦。
順帶一提，若兩角之和為平角（即 180°），則稱這兩個角「互為補角（supplementary angle）」，簡稱「互補」。
互餘（complementary）的字首 com-，和餘弦（cosine）的 co- 其實來自同一個詞源，作為拉丁語的字首表示「一起，相伴（with, together）」的意思。com- 放到母音和輕音之前，變成了 co-；在 -g- 前，為 cog- 或 con-；在 -l- 前，為 col-；在 -r- 前為 cor-；在 -c-、-d-、-j-、-n-、-q-、-s-、-t- 和 -v- 前則化成了 con-。
一根射線將直角分為兩半，二角相伴相生，此消彼長。所對應的正弦餘弦亦是如此。然而在中文裡，「餘」只有剩餘的意思，因此並不能把所有的 co- 都翻譯成餘。實際上，一切相生相剋的東西，都是互 co- 的。男是 co-女，陰是 co-陽，天是 co-地，柔是 co-剛。
所以 co- 有了太多太多的譯法：
coerce 是圍在一起，成了約制；covariant 是一起變型，成了協變；collect 是選出來放在一起，成了收集；conjugate 比作馬車曲木的兩端，成了共軛。coauthor 是合作者；codomain 是陪域。
餘、共、互、逆、陪、伴、協、同、交、合、配、對、逆、反、偶、上……我們在看到這個詞頭時，不必像阿拉伯那個把胸部當成 jiba 的曲直不分的傢伙那樣直譯，而是像徐光啟那樣，直接看清它的本質是什麼。 知其變，守其恆，為天下式。
當我看到陳意雲老師把 coinduction 翻譯成「餘歸納」的時候，我很困惑：「餘」在哪了？而當我發現 coinduction 就是把歸納的過程反過來後，自然就有了它的譯法：逆歸納。「反」是一個靜態的描述，而「逆」是一個動態的表述。當歸納的箭頭有了流動的方向，逆流而上便是把箭頭反過來最自然的想法了。於是在英語世界，有了很多關於 co- 的妙語：
Q : What does a category theorist call a reader?
A : A "co-author".
問：範疇論學家把讀者稱為什麼？
答：「協作者」。
"I had a dream last night. I cheated on my wife and she knew it."
"But dream is coreality."
"So the reality is?"
"Your wife cheated on you and you didn't know it."
「我做了一個夢，夢見我對我妻子出軌了，被我妻子知道了。」
「可是夢是與現實伴生的（co-現實）。」
「所以現實應該是？」
「你的妻子對你出軌了，而你還不知道。」
A mathematician is a machine that turns coffee into theorems.
A comathematician is a comachine that coturns cotheorems onto ffee.
在一個叫“上古卷軸”的遊戲裡，有一個衛兵的膝蓋中了一箭。
在一個叫“古卷軸”的遊戲裡，有一枚上箭從上士兵的上膝蓋裡上射了出來。
A coconut is just a nut.
（椰子就是堅果。）
負負得正，看來 co- 是對合（involution）的。
本文其實已經接近尾聲了，不過還有一個詞的翻譯差點讓咱想瞞混過去：上同調（cohomology）。
「上」是哪來的？帶著這個疑問，咱打開了維基百科的 cohomology 詞條：
In mathematics, specifically in homology theory and algebraic topology, cohomology is a general term for a sequence of abelian groups associated to a topological space, often defined from a cochain complex. Cohomology can be viewed as a method of assigning richer algebraic invariants to a space than homology. Some versions of cohomology arise by dualizing the construction of homology. In other words, cochains are functions on the group of chains in homology theory.
當時咱就這個表情：
不過既然是「上」，說不定有可以看出「上」的圖來呢？Google 一下：
好吧看來不行。不過那邊有個 cochain complex，似乎很有關係，咱去瞅瞅：
雖然還是看不懂，不過這裡能感受到某種對稱性，最直觀的就是反過來的箭頭，那麼「逆」或許是個不錯的譯法。不過且慢……
chain complex 
↔ cochain complex 
cochain 裡的黑點、數字和字母都標在右上角，所以 co 是「上」； chain 裡標在右下角的記法就是「下」了。我們在各種 cohomology 裡也能找到很多這種記法：
哈哈，看來「上同調」的譯者早已深諳此道了。
這就是 co-，一個相生為伴，互克而消的故事。
後記
這篇文章其實咱早就有了把它寫出來的打算，可無奈拖延症+懶癌作怪，也想著收集更多的資料去印證各種想法。然而精力和學識有限，無法面面俱到，至臻完美。恰逢冰冰要作一個關於 CuTT 的演講，裡面很多術語找不到很好的譯法，於是咱肝了兩天把它寫了出來，以作參考。同時，今天也是冰冰的生日，於是作為生日禮物送給他。 冰冰醬生快喵~！=w=
本文參考了大量的資料，但寫著寫著網頁就開了太多，記憶體被 Chrome 吞噬掉了，於是只好看完一點就關掉。很多參考來源已經不好找了，還要翻歷史記錄。後期咱會把引用來源慢慢補上。
因為咱畢竟是 CS 專業的，這些內容很多屬於詞源學，所以超出了咱的專業範疇，本文可信度也略有折扣。文中字詞之解時有妄測，咱也懇請各位 reader 們能夠真的作為 co-author 幫忙審校斧正，在咱說「波乃水之皮時」能戲以「然則滑，水之骨也？」駁之。
其實在語言文字的演化過程中，我們會發現和生物演化很像的現象。生物進化的單位是基因（gene），而文化演化的單位是模因（meme），它們在歷史的長河中演進、分化、變異、融合。時而複製出錯，產生了功能完全不同的「蛋白質」，又反過來作用於文化自身，繼續奔流湧進。正如有些生命會偷取其它基因片段一樣，文化裡也會拿來直接用。古人用典，今人玩梗，十分有趣。而有些在不同語言中本不相干的東西，因為巧合而變得更加撓人心魄。不過這些表面的東西，總是難以觸碰到本質的。
如果你對知識進行了徹底的分析而非某種機械的套弄，在你腦中生成的概念與生硬的文字之間已經沒有很強的相似性，我們就認為這個概念是被理解的。徹底的分析和非凡的變換，是獲得真知的標誌性特徵。——@興趣使然千里冰封
咱在寫作過程中，發現了很多有用的網站，在這裡推薦給大家：
漢典 用於查詢古漢語的字詞之源
Online Etymology Dictionary 用於查詢英語詞源
維基詞典 同樣用於查詢詞源詞義
維基文庫 查閱古籍很好用
GeoGebra 很棒的幾何繪圖工具
科普中國 非常棒的科普網站
其它還有維基百科、百度百科、知乎、雅虎問答、Quora、Stack Overflow 等都可以用來參考。當然，你必須能夠 正常訪問網際網路 ，畢竟我們仍在西學東漸中，多幾個沒有生在明末的徐光啟總是好的。