矩陣的一些性質

摘要： （線代這塊兒菜的要死，而矩陣又是基礎，單獨列出來吧） 幾個定義 轉置矩陣 轉置矩陣相當於把矩陣順時針旋轉了90度之後再180度翻轉過來。 例如：a11 a12 a13a1n...

（線代這塊兒菜的要死，而矩陣又是基礎，單獨列出來吧）

幾個定義

• 轉置矩陣

  • 轉置矩陣相當於把矩陣順時針旋轉了90度之後再180度翻轉過來。
  • 例如：a11 a12 a13a1na11 a21 a31 an1
    a21 a22 a23a2na12 a22 a32 an2
    的轉置矩陣
    an1 an2 an3anna1n a2n a3n ann

• 單位矩陣

  • 一個n階的矩陣為單位矩陣，ai j=[i==j]。
  • 設n階單位矩陣為I，則AI=I A=A。

• 行列式

  • 矩陣A的行列式記為det（A）或|A|。它等於Σ （-1）^t * a（1，p1）a（2，p2） ……a（n，pn），其中p是1~n的一種排列，t是這個排列的逆序對個數。
  • 通過上述定義，我們可以發現矩陣的幾個簡單初等變換：
    • 交換兩行/兩列：det（A）——> -det(A)；
    • 給其中一行或一列乘上一個非零整數k：det(A)——> k*det(A)；
    • 一行/列的k倍加到另一行/列上：det（A）——>det(A)。
  • 餘子式
  • 定義 n階矩陣A去掉第i行第j列之後剩下的n-1階矩陣的行列式為矩陣的餘子式Ai j
  • 代數餘子式
  • 代數餘子式 Mi j=（-1）^(i+j) Ai j ；
  • 回過頭來，矩陣的行列式是可以在行/列上展開的：
    • 行列式在行上的展開：det=ai j*Mi j（其中i任意一行，j從1~n）；
    • 行列式在列上的展開：det=ai j*Mi j（其中j任意一列，i從1~n）。

  • 從而我們得到了一個遞迴求解行列式的方法，它的複雜度為O（n！）。

    上三角矩陣

    下三角矩陣

    LU分解：

  • 將一個n階矩陣A拆分成一個上三角矩陣L和一個下三角矩陣U，A=LU。
  • 一個n階矩陣存在LU分解當且僅當這個矩陣存在逆矩陣。

  • 分別進行初等變換即可求出上三角矩陣和下三角矩陣。（通常我們所說的那個高斯消元其實就是LU分解）

    LU分解與行列式

  • 我們已經知道了高斯消元的過程就是通過初等變換把當前矩陣分解成一個上三角矩陣的過程，這其中初等變換的過程我們可以記錄下來，通過三個性質，保留下行列式，然後我們看看上三角矩陣的性質“
    • 重新回到行列式的定義：det=Σ （-1）^t * a（1，p1）a（2，p2） ……a（n，pn）。如果我們想讓一個排列對行列式產生非零的貢獻，那麼對於所有的a（i，pj）都需要滿足p j>=i，只有一種情況就是1~n的這個排列，所以上三角矩陣的行列式就是Π ai i。