Splay入門
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Splay入門
BST與Splay
二叉查詢樹( BST )，保證任意節點的左兒子小於其父親，任意節點的右兒子大於其父親的二叉樹。但是當出現毒瘤資料時，BST會退化為鏈，從而影響效率。而Splay是其中的一種比較 萬能 的填坑方法。
Rotate
Splay基本旋轉操作。在不破壞二叉查詢樹 (BST) 結構的前提下，將一個節點向上旋轉一層，使其曾經的父親成為他現在的兒子（圖中x節點）
這種旋轉模式可以找出普遍規律的，這裡不多闡述，引用一下yyb神犇總結的
1.X變到原來Y的位置
2.Y變成了 X原來在Y的 相對的那個兒子
3.Y的非X的兒子不變 X的 X原來在Y的 那個兒子不變
4.X的 X原來在Y的 相對的 那個兒子 變成了 Y原來是X的那個兒子
請結合圖和程式碼理解一下
void Rotate(int x){//旋轉節點x
//k表示x是否為y的右節點；y即圖中y節點，x即圖中x節點，z即圖中A節點
int y=ff[x],z=ff[y],k=(ch[y][1]==x);
//將x與y位置互換，並更新其父親
ch[z][ch[z][1]==y]=x;
ff[x]=z;
//將圖中D節點從x的右兒子變為y的左二子，k^1表示0,1取反（0^1=1,1^1=0）
ch[y][k]=ch[x][k^1];
ff[ch[x][k^1]]=y;
//將y更新
ch[x][k^1]=y;
ff[y]=x;
}
/*
ff[x]表示x的父親
ch[x][1]表示x的右節點
ch[x][0]表示x的左節點
1^1=0 1^0=1
*/
這樣，每次有新節點加入、刪除或查詢時，都將其旋轉至根節點，這樣可以保持BST的平衡。
Splay 為什麼能讓BST保持平衡 的
，避免冗餘的比較，讓那些低頻節點訪問次數降低。
Splay
然而單純的Rotate操作還是不夠，有些情況需要考慮，同上，記y為當前需要旋轉的節點x的父親，z為y的父親（也是x的祖父）， \(k(x,y)\) 表示節點x,y的關係（x為y的右兒子還是為y的左兒子），特別的，當 \(k(x,y)=k(y,z)\) （或者即x,y,z三點共線）時，兩次單旋對於複雜度沒有優化，如圖：
我們必須要 先將其父節點向上旋轉一次，再將要旋轉的節點向上旋轉一次 ，如圖：
其他情況則直接做兩次旋轉即可
inline void splay(int x, int goal){ //將x旋轉直至成為goal的兒子
while(ff[x]!=goal){
int y=ff[x],z=ff[y];
if(z!=goal) //如果y已經是根節點的兒子了，那麼只需要將x向上旋轉一次就好了，不需要兩次旋轉
((ch[z][0]==y)^(ch[y][0]==x))?rotate(x):rotate(y); //x,y,z三點共線是否三點一線
rotate(x);//再旋轉一下
}
if(goal==0) rot=x; //更新樹根（0是樹根的父親）
}
查詢操作
非遞迴，比較簡單，查詢後，平衡樹的根( rot )就是查詢到的節點
/*
rot維護了這棵平衡樹的樹根
val[x]獲取節點x的值
*/
inline void find(int x){
int u=rot; //rot為樹根
if(u==0)return; //樹空
while(ch[u][x>val[u]]!=0&&x!=val[u]) //節點存在（即不為0）並且不是x，才進入到下一層
u=ch[u][x>val[u]]; //進入到相應的子樹中
splay(u,0); //每次查詢都要將節點旋轉至樹根，原理前文已提
}
插入
inline void insert(int x){
int fa=0,u=rot;
while(u!=0&&x!=val[u]){
fa=u;
u=ch[u][x>val[u]];
}
if(u!=0) //x存在
cnt[u]++; //已有x，那麼增加其個數
else{ //沒有x存在
u=tot++; //分配一個新的節點編號
if(fa==0) //新建一個樹根
rot=u; //更新樹根
else //新建葉節點
ch[fa][x>val[fa]]=u; //更新其父親的資訊
//維護節點的其他資訊
val[u]=x;
ff[u]=fa;
cnt[u]=1;
size[u]=1;
//ch[u][0]=ch[u][1]=0;
}
splay(u,0);
}
Update
根據Splay自底向上旋轉的性質，根據左右兒子的節點大小( size )以維護當前節點大小（用於求第k小問題）
void update(int x){
size[x]=size[ch[x][0]]+sizep[ch[x][1]]; //左右兒子
}
每次Rotate改變樹形狀時呼叫
NEW Rotate
void Rotate(int x){
//程式碼不變
int y=ff[x],z=ff[y],k=(ch[y][1]==x);
ch[z][ch[z][1]==y]=x;
ff[x]=z;
ch[y][k]=ch[x][k^1];
ff[ch[x][k^1]]=y;
ch[x][k^1]=y;
ff[y]=x;
//只有節點x,y的大小發生了變化（看圖）
update(y),update(x);
}
前驅/後驅
前驅：比x小的最大節點；後驅：比x大的最小節點
先找到該節點，根據BST性質，其前驅即其 左子樹最右邊的節點 （進入其左兒子之後一直向右轉），其後驅即其 右子樹最左邊的節點 （進入其右兒子之後一直向左轉）
前驅
inline int pre(int x){
find(x); //查詢後，此時樹根即為查詢節點
int u=ch[rot][0]; //進入左子樹
if(u==0)return -1; // 沒有比x小的數
while(ch[u][1]!=0) u=ch[u][1]; //一路向右
return u;
}
後驅
inline int nxt(int x){
find(x); //查詢後，此時樹根即為查詢節點
int u=ch[rot][1]; //進入右子樹
if(u==0)return -1; // 沒有比x大的數
while(ch[u][0]!=0) u=ch[u][0]; //一路向左
return u;
}
刪除
根據前驅後驅的性質可得
\[ MIN,\cdots,pre(x),x,nxt(x),\cdots,MAX \]
（即同時滿足
\(pre(x) < x < nxt(x)\)
的x只有一個）那麼我們可以根據這個性質x這一個節點夾逼到某個確定的位置，然後乾淨地幹掉（無需維護其他資訊）
具體先將x的前驅旋至樹根，再旋轉x的後驅，使x的後驅成為樹根的兒子，這時我們會發現x被夾逼到 樹根的右兒子的左兒子 （或者後驅節點的左兒子）
inline void delete(int x){
int xp=pre(x),xn=nxt(x);
splay(xp, 0); //將x的前驅旋至樹根
splay(xn, rot); //旋轉x的後驅，使x的後驅成為樹根的兒子
int u=ch[xn][0]; //即將被刪除的節點
if(cnt[u]>1){ //如果不止一個節點
cnt[u]--; //那麼將其個數減一即可
splay(u,0); //記得Splay！
}else
ch[xn][0]=0; //乾淨地幹掉
}
第k大
inline int findk(int x){
int u=rot;
if(size[u]<x)return -1; //不存在
while(1){
if(x<=size[ch[u][0]]+cnt[u]) u=ch[u][0]; //如果左子樹大小加節點副本數(cnt)大於x，那麼第k大一定在左子樹中，進入左子樹
else if(x==size[ch[u][0]]+cnt[u])return u; //如果左子樹大小加節點副本數(cnt)恰等於x，那麼第k大就是當前節點
else u=ch[u][1], x-=size[ch[u][0]]+cnt[u]; //如果左子樹大小加節點副本數(cnt)小於x，那麼第k大一定在右子樹中，進入左子樹，但是要同時減去左子樹的個數
}
}
參考
個人覺得寫的很好的部落格：