題解 埃及分數
摘要：
問題 C: 埃及分數
題目描述
在古埃及,人們使用單位分數的和 (形如 1/a 的, a 是自然數) 表示一 切有理數。如:2/3=1/2+1/6, 但不允許 2/3=1/3+1/3, 因為加數中有相同的。對於一個分數 a/b, 表示方法有很多種,...
問題 C: 埃及分數
題目描述
在古埃及,人們使用單位分數的和 (形如 1/a 的, a 是自然數) 表示一 切有理數。如:2/3=1/2+1/6, 但不允許 2/3=1/3+1/3, 因為加數中有相同的。對於一個分數 a/b, 表示方法有很多種,但是哪種最好呢?首先,加數 少的比加數多的好,其次,加數個數相同的,最小的分數越大越好。
如:
• 19/45=1/3 + 1/12 + 1/180
• 19/45=1/3 + 1/15 + 1/45
• 19/45=1/3 + 1/18 + 1/30,
• 19/45=1/4 + 1/6 + 1/180
• 19/45=1/5 + 1/6 + 1/18.
最好的是最後一種,因為 1/18 比 1/180,1/45,1/30,1/180 都大。
輸入
一行兩個整數 a,b。
輸出
若干個數,自小到大排列,依次是單位分數的分母。
樣例輸入
19 45
樣例輸出
5 6 18
題解
這道題目就是個暴力
首先先抨擊朱老師沒有打spj，而此題需要spj
例如：
$\frac{59}{211}=\frac{1}{4}+\frac{1}{36}+\frac{1}{633}+\frac{1}{3798}$
$\frac{59}{211}=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{633}+\frac{1}{3798}$
而這兩個答案都可以
我們從1開始列舉分母的個數，然後我們假設當前分母為$\frac{a}{b}$
前面分母的最大值為$t$ $deepthset$表示分母的個數
$(max(t,\frac{b}{a})+1->\frac{b}{a}*(deepest-depth+1))-1$
這樣，我們驚奇地發現，當$n$,$m$在1000以內時，跑得非常快
於是這道題目就做完了，時間複雜度……
程式碼
\#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1020;
LL ans[N],sum[N];
int n,m,deepest;
int gcd(int __m, int __n){
while (__n != 0){
int __t = __m % __n;
__m = __n;
__n = __t;
}
return __m;
}
LL gcd(LL __m, LL __n){
while (__n != 0){
LL __t = __m % __n;
__m = __n;
__n = __t;
}
return __m;
}
bool dfs(LL a,LL b,LL depth,LL t){
if (depth==deepest){
if ((b%a)!=0) return 0;
ans[depth]=b/a;
bool Flag=false;//判斷答案是否更優
for (int i=depth;i>=0;--i){
if (ans[i]!=sum[i]) {
if (ans[i]<sum[i]) Flag=true;
else Flag=false;
break;
}
}
if (Flag) {
for (int i=0;i<=depth;++i)
sum[i]=ans[i];
}
return 1;
}
bool flag=false;
for (int i=max(t,b/a)+1;i<(b/a*(deepest-depth+1));++i){
ans[depth]=i;
if (dfs(a*i-b,b*i,depth+1,i)) flag=true;
}
return flag;
}
int main(){
memset(sum,0x3f3f3f,sizeof(sum));
scanf("%d%d",&n,&m);
int Gcd=gcd(n,m);
n/=Gcd,m/=Gcd;
if (n==1){
printf("%d\n",m);
return 0;
}
for (int i=1;;++i){
deepest=i;
if (dfs(n,m,0,m/n)){
for (int j=0;j<=i;++j)
printf("%d%c",sum[j],j==i?'n':' ');
break;
}
}
return 0;
}