tarjian算法

LCA： LCA（Least Common Ancestor），顧名思義，是指在一棵樹中，距離兩個點最近的兩者的公共節點。也就是說，在兩個點通往根的道路上，肯定會有公共的節點，我們就是要求找到公共的節點中，深度盡量深的點。還可以表示成另一種說法，就是如果把樹看成是一個圖，這找到這兩個點中的最短距離。

LCA算法有在線算法也有離線算法，所謂的在線算法就是實時性的，而離線算法則是要求一次性讀入所有的請求，然後在統一得處理。而在處理的過程中不一定是按照請求的輸入順序來處理的。說不定後輸入的請求在算法的執行過程中是被先處理的。

tarjan算法。這個算法是基於並查集和DFS的。離線算法。

現在我們來觀察正在處理與x結點關聯的詢問時並查集的情況。由於一個結點處理完畢後，它就被歸到其父結點所在的集合，所以在已經處理過的結點中（包括 x本身），x結點本身構成了與x的LCA是x的集合，x結點的父結點及以x的所有已處理的兄弟結點為根的子樹構成了與x的LCA是father[x]的集合，x結點的父結點的父結點及以x的父結點的所有已處理的兄弟結點為根的子樹構成了與x的LCA是father[father[x]]的集合……（上面這幾句話如果看著別扭，就分析一下句子成分，也可參照右面的圖）假設有一個詢問(x,y)（y是已處理的結點），在並查集中查到y所屬集合的根是z，那麽z 就是x和y的LCA，x到y的路徑長度就是lv[x]+lv[y]-lv[z]*2。累加所有經過的路徑長度就得到答案。　　現在還有一個問題：上面提到的詢問(x,y)中，y是已處理過的結點。那麽，如果y尚未處理怎麽辦？其實很簡單，只要在詢問列表中加入兩個詢問(x, y)、(y,x)，那麽就可以保證這兩個詢問有且僅有一個被處理了（暫時無法處理的那個就pass掉）。而形如(x,x)的詢問則根本不必存儲。　　如果在並查集的實現中使用路徑壓縮等優化措施，一次查詢的復雜度將可以認為是常數級的，整個算法也就是線性的了。

Tarjan作為離線off-line算法，在程序開始前，需要將所有等待詢問的節點對提前存儲，然後程序從樹根開始執行TarjanLCA()。假如有如下一棵多叉樹

根據TarjanLCA的實現算法可以看出，只有當某一棵子樹全部遍歷處理完成後，才將該子樹的根節點標記為黑色（初始化是白色），假設程序按上面的樹形結構進行遍歷，首先從節點1開始，然後遞歸處理根為2的子樹，當子樹2處理完畢後，節點2， 5， 6均為黑色；接著要回溯處理3子樹，首先被染黑的是節點7（因為節點7作為葉子不用深搜，直接處理），接著節點7就會查看所有詢問(7, x)的節點對，假如存在(7, 5)，因為節點5已經被染黑，所以就可以斷定(7, 5)的最近公共祖先就是find(5).ancestor，即節點1（因為2子樹處理完畢後，子樹2和節點1進行了union，find(5)返回了合並後的樹的根1，此時樹根的ancestor的值就是1）。 有人會問如果沒有(7, 5)，而是有(5, 7)詢問對怎麽處理呢？我們可以在程序初始化的時候做個技巧，將詢問對(a, b)和(b, a)全部存儲，這樣就能保證完整性。

tarjan算法求最近公共祖先