有錯請大力指出【鞠躬】第一次寫正經博客非常慌張

LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根樹中，找出某兩個結點u和v最近的公共祖先。

對於有根樹T的兩個結點u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一個結點x，滿足x是u、v的祖先且x的深度盡可能大。

另一種理解方式是把T理解為一個無向無環圖，而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的點。

——百度百科

LCA的四種算法：

• 記錄dfs序轉化為rmq問題（st表）
• tarjan算法
• 倍增算法
• 樹鏈剖分

一、記錄dfs序轉化為rmq問題

　　1.dfs序是什麽？

　　其實本人對dfs序的定義也不怎麽清晰……望告知orz

　　首先我們需要一顆樹……比如說它長這樣：

　　定義rt（root）為樹根，則在這棵樹中rt = 1。別說了我知道圖上是A

　　本題需要用到的dfs序需在進入每個節點即搜完某一個兒子的時候記錄這個節點。從rt開始進行dfs（深度優先搜索），則得到的dfs序列為A B D B E B F B A C G H G C A。

　　且讓我們跟著跑一遍。

　　　　1.dfs(A) ， 序列為A

　　　　2.找到A的兒子B，dfs(B)，序列為A B

　　　　3.找到B的兒子D，dfs(D)，序列為A B D

　　　　4.發現D沒有兒子，返回B，序列為A B D B

　　　　5.6.7.8. dfs(E)，返回B，dfs(F)，返回B，序列為A B D B E B F B

　　　　9.搜完B的兒子，返回A，序列為A B D B E B F B A

　　　　10.11.12. dfs(C)，dfs(G)，dfs(H)，序列為A B D B E B F B A C G H

　　　　13.14.15 返回G，返回C，返回A，序列為A B D B E B F B A C G H G C A

　　結束。

　　定義x為當前節點標號，dep為當前深度，h[i]為樹高，in[i]為每個節點被訪問到的序號，d[i]為dfs序。

　　代碼如下：

void dfs(int x , int dep)
{
    d[++ cnt] = x ;
    h[x] = dep , in
 
[x] = cnt ;
    for(int i = fst[x] ; i ; i = e[i].nx)
    {
        if(e[i].x == fa[x]) continue ;
        fa[e[i].x] = x ;
        dfs(e[i].x , dep + 1) ;
        d[++ cnt] = x ;
    }
}

　　除了搜完根節點後結束dfs外，每個點被搜到和退出時均會在dfs序中加入一個數，因此該dfs序的長度為2 * n - 1。

　　設點u、點v的最近公共祖先為點x，並且u在v之前被dfs到。因為x為u、v的祖先，所以dfs時先找到x，再從x往下找到u，即dfs(u)時已經過了x。記錄u後，返回到x再向下找到v。故在dfs序中，in[u]和in[v]之間必出現過x。而dfs(v)後返回時，x的子樹還沒有被搜完，所以不會出現x的祖先。這樣即可保證在in[u]、in[v]中高度最小的點即為u、v的最近公共祖先。

　　這樣我們有了一個正確的算法，但如果對於每個詢問區間，都一位一位尋找最值，效率為O(mn)，顯然不能接受。

樹上最近公共祖先（LCA）的算法