題目

如題，給定一棵有根多叉樹，請求出指定兩個點直接最近的公共祖先。

題解

樹上倍增和普通的倍增原理是一樣的，它的運用很廣泛，除了求LCA外，在很多問題中都有應用
倍增就是將狀態空間中2的整數次冪的值作為代表，當要查詢其它位置的值時，可以通過“任意整數可以表示成若干個2的次冪項的和”這一性質，使用之前求出的代表值拼成所需的值。

在樹上倍增求LCA中，設f[i][k]表示點i的2^k輩父親，而f[i][0]表示i的父節點。通過一個廣搜或深搜預處理出所有節點的f，還有節點的深度。其中f[i][k]=f[f[i][k-1]][k-1]，1<=k<=log(n)/log(2)+1
求LCA時，先把兩個節點弄到同一高度，然後一起往上跳，最終跳到的一定是它們最近公共祖先的子節點，答案就得出了（詳見註釋）

程式碼

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N=500005;
int n,m,s,t,cnt;
int ls[N],ne[N*2],to[N*2],b[N];
int f[N][22];
queue<int> q;

void bfs(){
    q.push(s);b[s]=1;f[s][0]=s;
    while (q.size()){
        int
 
 k=q.front(),e;
        q.pop();
        e=k;
        for (k=ls[k];k;k=ne[k]){
            if (b[to[k]]) continue;
            b[to[k]]=b[e]+1;
            f[to[k]][0]=e;
            for (int i=1;i<=t;i++)
                f[to[k]][i]=f[f[to[k]][i-1]][i-1];
            q.push(to[k]);
        }
    }
}

int
 
 lca(int c,int d){
    if (b[c]>b[d]) swap(c,d);//比較的是深度，不是點的標號！！！！
    for (int i=t;i>=0;i--)
        if (b[f[d][i]]>=b[c]) d=f[d][i];//把深度大的跳到和深度小的同一深度
    //只在d的父親的深度大於等於深度小的c時跳，這樣就不會跳過頭，通過2的次冪組合可以剛好跳到
    if (c==d) return c;//當c剛好就是LCA時
    for (int i=t;i>=0;i--)
        if (f[c][i]!=f[d][i]) c=f[c][i],d=f[d][i];
    //一起跳，只在兩點父輩不同時跳，可以通過2的次冪項組合跳到LCA的兒子節點
    return f[c][0];
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    t=(int)(log(n)/log(2))+1;
    for (int i=1;i<n;i++){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        ne[++cnt]=ls[a];ls[a]=cnt;to[cnt]=b;
        ne[++cnt]=ls[b];ls[b]=cnt;to[cnt]=a;
    }
    bfs();
    for (int i=1;i<=m;i++){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",lca(a,b));
    }
}