題目大意：一個$n\times n$的棋盤，其中有$m$個格子已經被染色，執行一次染色操作(無論選擇的格子是否已被染色)消耗一個單位時間，染色時選中每個格子的概率均等，求使每一行、每一列都存在被染色的格子的期望用時。

傳送門

顯然，被染色的磚的位置對解題是沒有影響的，我們可以將已染色磚所在的行和列移動到右下角，問題就轉化到了在更小棋盤中的新問題。

在任一時刻，棋盤內的狀態如下：

其中綠色區域為當前問題的棋盤，選中對行和列都有貢獻；

選中黃色對行或列有貢獻；

選中紅色沒有貢獻；

設$f[i][j]$表示剩余$i$行$j$列未染色，則$$f[i][j]=\frac {i\times j\times f[i-1][j-1]+i\times (n-j)\times f[i-1][j]+(n-i)\times j\times f[i][j-1]+(n-i)\times (n-j)\times f[i][j]} {n^2}$$

兩邊都有$f[i][j]$,化簡得：$$f[i][j]=\frac {n^2+i\times j\times f[i-1][j-1]+i\times (n-j)\times f[i-1][j]+(n-i)\times j\times f[i][j-1]} {n^2-(n-i)\times (n-j)}$$

代碼：

 1 #include<cstring>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cmath>
 5 #define foru(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
 6
 
 using namespace std;
 7 typedef double db;
 8 const int N=2010;
 9 db f[N][N];
10 int br[N],bc[N],n,m,x,y,r,c;
11 int main(){
12     scanf("%d%d",&n,&m);
13     r=c=n;
14     foru(i,1,m){
15         scanf("%d%d",&x,&y);
16         if(!br[x])br[x]=1,r--;
17         if(!bc[y])bc[y]=1
 
,c--;
18     }
19     f[0][0]=0;
20     foru(i,1,n){
21         f[i][0]=f[i-1][0]+(db)n/i;
22         f[0][i]=f[0][i-1]+(db)n/i;
23     }
24     foru(i,1,r)
25         foru(j,1,c){
26             f[i][j]=(db)n*n+(i*j*f[i-1][j-1]+i*(n-j)*f[i-1][j]+(n-i)*j*f[i][j-1]);
27             f[i][j]/=(n*n-(n-i)*(n-j));
28         }
29     printf("%.10lf\n",f[r][c]);
30 }

[Codefoeces398B]Painting The Wall(概率DP)