數據結構學習筆記（圖）
一
（基本概念）
1.圖的定義：圖是由頂點的有窮非空集合和頂點之間邊的集合組成，通常表示為：G(V,E)，其中，G表示一個圖，V是圖G中頂點的集合，E是圖G中邊的集合。
2.與線性表、樹的比較：
（1）線性表中我們把數據元素叫元素，樹中將數據元素叫結點，在圖中數據元素，我們則稱之為頂點。
（2）線性表中可以沒有數據元素，稱為空表。樹中可以沒有結點，叫做空樹。在圖結構中，不允許沒有頂點。
（3）線性表中，相鄰的數據元素之間具有線性關系，樹結構中，相鄰兩層的結點具有層次關系，而圖中，任意兩個頂點之間都可能有關系，頂點之間的邏輯關系用邊來表示，邊集可以是空的。
3.無向邊：若頂點Vi到Vj之間的邊沒有方向，則稱這條邊為無向邊，用無序偶對（Vi，Vj）來表示。如果圖中任意兩個頂點之間的邊都是無向邊，則稱該圖為無向圖。
有向邊：若從頂點Vi到Vj的邊有方向，則稱這條邊為有向邊，也稱為弧。用有序偶<Vi,Vj>來表示，Vj稱為弧尾，Vj稱為弧頭。如果圖中任意兩個頂點之間的邊都是有向邊，則稱該圖為有向圖。
*無向邊用小括號“（）”表示，而有向邊則用尖括號“<>”表示。
4.在圖中，若不存在頂點到其自身的邊，且同一條邊不重復出現，則稱這樣的圖為簡單圖。
5.在無向圖中，如果任意兩個頂點之間都存在邊，則稱該圖為無向完全圖。含有n個頂點的無向完全圖有n*(n-1)/2條邊。
6.在有向圖中，如果任意兩個頂點之間都存在方向互為相反的兩條弧，則稱該圖為有向完全圖。含有n個頂點的有向完全圖有n*(n-1)條邊。
*對於具有n個頂點和e條邊數的圖，無向圖0≤e≤n(n-1)/2, 有向圖0≤e≤n(n-1)。
7.有很少條邊或弧的圖稱為稀疏圖，反之稱為稠密圖。
8.與圖的邊或弧相關的數叫做權。這種帶權的圖通常稱為網。
9.頂點v的度是和v相關聯的邊的數目。
邊數其實就是各定點度數和的一半。
以頂點v為頭的弧的數目稱為v的入度，以v為尾的弧的數目稱為v的出度。
10.圖中頂點與頂點之間的路徑卻是不唯一的。
路徑的長度是路徑上的邊或弧的數目。
第一個頂點到最後一個頂點相同的路徑稱為回路或環。序列中頂點不重復出現的路徑稱為簡單路徑。除了第一個頂點和最後一個頂點之外，其余頂點不重復出現的回路，稱為簡單回路或簡單環。
二
1.無向圖中的極大連通子圖稱為連通分量。強調：
*要是子圖；
*子圖要是連通的；
*連通子圖含有極大頂點數；
*具有極大頂點數的連通子圖包含依附於這些頂點的所有邊。
2.從Vi到Vj和從Vi到Vj都存在路徑，則稱G是強連通圖。有向圖中的極大強連通子圖稱作有向圖的強連通分量。
3.一個連通圖的生成樹是一個極小的連通子圖，它含有圖中全部的n各頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。
4.如果一個圖有n個頂點和小於n-1條邊，則是非連通圖，如果它多於n-1條邊，必定構成一個環。不過有n-1條邊並不一定是生成樹。
5.如果一個有向圖恰有一個頂點的入度為0，其余頂點的入度均為1，則是一棵有向樹。
6.一個有向圖的生成森林由若幹棵有向樹組成，含有圖中全部頂點，但只有足以構成若幹棵不想交的有向樹的弧。
三
（術語總結）
1.圖按照有無方向分為無向圖和有向圖。無向圖由頂點和邊構成，有向圖由頂點和弧構成。弧有弧尾和弧頭之分。
2.圖按照邊或弧的多少分稀疏圖和稠密圖。如果任意兩個頂點之間都存在邊叫完全圖，有向的叫有向完全圖。若無重復的邊或頂點到自身的邊則叫簡單圖。
3.圖中頂點之間有領接點、依附的概念。無向圖頂點的邊數叫做度，有向圖頂點分為入度和出度。
4.圖上的邊或弧上帶權則稱為網。
5.圖中頂點間存在路徑，兩頂點存在路徑則說明是連通的，如果路徑最終回到起始點則稱為環，當中不重復叫簡單路徑。若任意兩頂點都是連通的，則圖就是連通圖，有向則稱強連通圖。圖中有子圖，若子圖極大連通則就是連通分量，有向則稱強連通分量。
6.無向圖中連通且n個頂點n-1條邊叫生成樹。有向圖中一頂點入度為0，其余頂點入度為1的叫有向樹。一個有向圖由若幹棵有向樹構成生成森林。
四
（圖的存儲結構）
1、圖不可能用簡單的順序存儲結構來表示。
2.圖的五種不同的存儲結構：
（1）鄰接矩陣：圖的鄰接矩陣存儲方式是用兩個數組來表示圖。一個一維數組存儲圖中頂點信息，一個二維數組（稱為鄰接矩陣）存儲圖中的邊或弧的信息。
*對稱矩陣就是n階矩陣的元滿足aij=aji。即從矩陣的左上角到右下角的主對角線為軸，右上角的元與左下角相對應的元全都是相等的（即是無向圖）。
a.判定任意兩頂點是否有邊無邊就非常容易了。
b.要知道某個頂點的度，其實就是這個頂點Vi在鄰接矩陣中第i行（或第i列）的元素之和。
c.求頂點Vi的所有鄰接點就是矩陣中第i行元素掃描一遍，arc[i][j]為1就是鄰接點。
*判斷有向圖頂點Vi到Vj是否存在弧，只需要查找矩陣中arc[i][j]為1的頂點。
*圖的鄰接矩陣存儲結構代碼：
typedef char VertexType; /*頂點類型應由用戶定義*/
typedef int EdgeType; /*邊上的權值類型應由用戶定義*/
#define MAXVEX 100 /*最大頂點數，應由用戶定義*/
#define INFINITY 65535 /*用65535來表示正無窮*/
typedef struct
{
VertexType vexs[MAXVEX]; /*頂點表*/
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX] /*鄰接矩陣，可看做邊表*/
int numVertexes, numEdges; /*圖中當前的頂點數和邊數*/
}MGraph;
*無向網圖的創建代碼：
/*建立無向網圖的鄰接矩陣表示*/
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
int i, j, k, w;
printf("輸入頂點數和邊數：\n");
scanf("%d, %d", &G->numVertexes,&G->numEdges); /*輸入頂點數和邊數*/
for(i=0;i<G->numVertexes; i++) /*讀入頂點信息，建立頂點表*/
scanf(&G->vexs[i]);
for(i=0;i<G->numVertexes; i++)
for(j=0;j<G->numVertexes; j++)
G->arc[i][j]=INFINITY; /*鄰接矩陣初始化*/
for(k=0; k<G->numEdges; k++) /*讀入numEdges條邊，建立鄰接矩陣*/
{
print("輸入邊（Vi，Vj)上的下標、下標j和權w：\n");
scanf("%d, %d, %d", &i, &j, &w); /*輸入邊（Vi，Vj）上的權w*/
G->arc[i][j]=w;
G->arc[j][i]=G->arc[i][j]; /*因為是無向圖，矩陣對稱*/
}
}
#從代碼中也可以得到，n個頂點和e條邊的無向網圖的創建，時間復雜度為O(n+n2+e),其中對鄰接矩陣Garc的初始化耗費了O(n2)的時間。
（2）鄰接表：數組與鏈表相結合的存儲方法稱為鄰接表。
*鄰接表的處理方法是這樣：
1.圖中頂點用一個一維數組存儲，當然，頂點也可以用單鏈表來存儲，不過數組可以較容易地讀取頂點信息，更加方便。另外，對於頂點數組中，每個數據元素還需要存儲指向第一個鄰接點的指針，以便於查找該頂點的邊信息。
2.圖中每個頂點vi的所有鄰接點構成一個線性表，由於鄰接點的個數不定，所以用單鏈表存儲，無向圖稱為頂點Vi的邊表，有向圖則稱為頂點Vi作為弧尾的出邊表。
*頂點表的各個結點由data和first edge兩個域表示，data是數據域，存儲頂點的信息，firstedge是指針域，指向邊表的第一個結點，即此頂點的第一個鄰接點。邊表結點由adjvex和next兩個域組成。adjvex是鄰接點域，存儲某頂點的鄰接點的頂點表中的下標，next則存儲指向邊表中下一個結點的指針。
*對於帶權值得網圖，可以在邊表結點定義中再增加一個weight的數據域，存儲權值信息即可。
#結點定義：
typedef char VertexType; /*頂點類型應由用戶定義*/
typedef int EdgeType; /*邊上的權值應由用戶定義*/
typedef struct EdgeNode /*邊表結點*/
{
int adjvex; /*鄰接點域，存儲該頂點對應的下標*/
EdgeType weight; /*用於存儲權值，對於非網圖可以不需要*/
struct EdgeNode *next; /*鏈域，指向下一個鄰接點*/
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode /*定義表結點*/
{
VertexType data; /*頂點域，存儲頂點信息*/
EdgeNode *firstedge; /*邊表頭指針*/
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
AdjList adjList;
int numVertexes, numEdges; /*圖中當前頂點數和邊數*/
}GraphAdjList;
#無向圖的鄰接表的創建：
/*建立圖的鄰接表結構*/
void CreateALGraph(GraphAdjList *G)
{
int i, j, k;
EdgeNode *e;
printf("輸入頂點數和邊數：\n");
scanf("%d, %d", &G->numVertexes, &G->numEdges); /*輸入頂點數和邊數*/
for (i=0; i<G->numVertexes; i++) /*讀入頂點信息，建立頂點表*/
{
scanf(&G->adjLIst[i].data); /*輸入頂點信息*/
G->adjLIst[i].firstedge=NULL; /*將邊表置為空表*/
}
for(k=0; k<G->numEdges; k++) /*建立邊表*/
{
printf("輸入邊(Vi, Vj)上的頂點序號:\n");
scanf("%d, %d", &i, &j); /*輸入邊(Vi,Vj)上的頂點序號*/
e=(EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode)); /*向內存申請空間*/
/*生成邊表結點*/
e->adjvex=j; /*鄰接序號為j*/
e->next=G->adjList[i].firstedge; /*將e指針指向當前頂點指向的結點*/
G->adjList[i].firstedge=e; /*將當前頂點的指針指向e*/
e=(EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode)); /*向內存申請空間*/
/*生成邊表結點*/
e-adjvex=i; /*鄰接序號為i*/
e->next=G->adjList[j].firstedge; /*將e指針指向當前頂點指向的結點*/
G->adjList[j].firstedge=e; /*將當前頂點的指針指向e*/
}
}
*時間復雜度為O(n+e)。
五
（圖的遍歷）
1.概念：從圖中某一頂點出發訪遍圖中其余頂點，且使每一個頂點僅被訪問一次，這一過程就叫做圖的遍歷。
2.需要在遍歷過程中把訪問過的頂點打上標記，以避免訪問多次而不自知。具體辦法是設置一個訪問數組visited[n]，n是圖中頂點的個數，初值為0，訪問過後設置為1.
3.圖的遍歷：深度優先遍歷和廣度優先遍歷。
（1）深度優先遍歷（DFS）：
深度優先遍歷其實就是一個遞歸的過程，相當於樹的前序遍歷。
從圖中某個頂點v出發，訪問此頂點，然後從v的未訪問的鄰接點出發深度優先遍歷圖，直至圖中所有和v有路徑相通的頂點都被訪問到。
對於非連通圖，只需要對它的連通分量分別進行深度優先遍歷。
**對於n個頂點e條邊的圖來說，鄰接矩陣的方式訪問需要O(n2)的時間；對於鄰接表來說，需要O(n+e)時間。
顯然對於點多邊少的稀疏圖來說，鄰接表結構使得算法在時間效率上大大提高。
（2）廣度優先遍歷（BFS)：
類似樹的層序遍歷。
*廣度優先遍歷和深度優先遍歷的時間復雜度是一樣的。鄰接矩陣訪問時間為O(n2)，鄰接表訪問時間為O(n+e)。
比較：深度優先遍歷更適合目標比較明確，以找到目標為主要目的的情況，而廣度優先更適合在不斷擴大遍歷範圍時找到相對最優解的情況。
六
（最小生成樹）
我們把構造連通網的最小代價生成樹稱為最小生成樹。
找連通網的最小生成樹，有兩種算法：普裏姆算法和克魯斯卡爾算法。
1、普裏姆算法：
以某頂點為起點逐步找各頂點上最小權值得邊來構建最小生成樹的。
假設N=（P,{E})是連通圖，TE是N上最小生成樹中邊的集合。算法從U={u。}(u。屬於V),TE={}開始。重復執行下述操作：在所有u屬於U，v屬於V-U的邊(u,v)屬於E中找一條代價最小的邊(u。,v。)並入集合TE，同時v。並入U，直至U=V為止。此時TE中必有n-1條邊，則T=(V,{TE})為N的最小生成樹。
時間復雜度為O(n2)。
2.克魯斯卡爾算法：
以邊為目標去構建。
假設N=(V,{E})是連通圖，則令最小生成樹的初始狀態為只有n個頂點而無邊的非連通圖T={V,{}}，圖中每個頂點自成一個連通分量。在E中選擇代價最小的邊，若該邊依附的頂點落在T中不同的連通分量上，則將次變加入到T中，否則舍去此邊而選擇下一條代價最小的邊。依次類推，直至T中所有頂點都在同一連通分量上為止。
克魯斯卡爾算法的時間復雜度為O(elog2e)。
總結：對比兩個算法，克魯斯卡爾算法主要是針對邊來展開，邊數少時效率會非常高，所以對於稀疏圖有很大的優勢；而普裏姆算法對於稠密圖，即邊數非常多的情況會更好一些。
七
（最短路徑）
對於網圖來說，最短路徑，是指兩頂點之間經過的邊上權值最少的路徑，並且我們稱路徑上的第一個頂點是源點，最後一個頂點是終點。
1.迪傑斯特拉(Dijkstra)算法：
這是一個按路徑長度遞增的次序產生最短路徑的算法。
時間復雜度為O(n2)。
如果是圖中任意一個頂點到另一頂點的距離，時間復雜度為O(n3)。
代碼如下：
#define MAXVEX 9
#define INFINITY 65535
typedef int Pathmatirx[MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX];
void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int V0, Pathmatirx *P, ShortPathTable *D)
{
int v, w, k, min;
int final[MAXVEX];
for (v=0; v<G.numVertexes; v++)
{
final[v] = 0;
(*D)[v] = G.matirx[v0][v];
(*p)[v] = 0;
}
(*D)[v0] = 0;
final[v0] = 0;
final[v0] = 1;
for (v=1; v<G.numVertexes; v++)
{
mun = INFINITY;
for (w=0; w<G.numVertexes; w++)
{
if (!final[w] && (*D)[w]<min)
{
k=w;
min=(*D)[w];
}
}
final[k]=1;
for (w=0; w<G.numVertexes; w++)
{
if(!final[w] && (min+G.matirx[k][w]<(*D)[w]))
{
(*D)[w] = min + G.matirx[k][w];
(*p)[w]=k;
}
}
}
}
2.弗洛伊德(Floyd)算法
比較經過頂點的權值，如果經過的頂點路徑比原兩點間的路徑更短，將當前兩點間的權值設為更小的一個。
代碼如下：
typedef int Pathmatirx[MAXVEX][MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX];
/*Floyd算法，求網圖G中各頂點V到其余頂點w最短路徑P[v][w]及帶權長度D[v][w]*/
void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Pathmatirx *P, ShortPathTable *D)
{
int v, w, k;
for (v=0; v<G.numVertexes; ++w); /*初始化D與P*/
{
(*D)[v][w]=G.matirx[v][w]; /*D[v][w]值即為對應點間的權值*/
(*P)[v][w]=w;
}
}
for(k=0; k<G.numVertexes; ++k)
{
for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
{
for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
{
if((*D)[v][w]>(*D)[v][k] + (*D)[k][w])
{
/*如果經過下標為k頂點路徑比原兩點間路徑更短*/
/*將當前兩點間權值設為更小的一個*/
(*D)[v][w]=(*D)[v][k]+(*D)[k][w];
(*P)[v][w]=(*P)[v][k];
}
}
}
}
時間復雜度為O(n3)。
八
（拓撲排序）
1.無環，即是圖中沒有回路的意思。
2.在一個表示工程的有向圖中，用頂點表示活動，用弧表示活動之間的優先關系，這樣的有向圖為頂點表示活動的網，我們稱為AOV網。
3。設G={V,E}是一個具有n個頂點的有向圖，V中的頂點序列V1，V2，......,Vn,滿足若從頂點Vi到Vj有一條路徑，則在頂點序列中頂點Vi必在頂點Vj之前。則我們稱這樣的頂點序列為一個拓撲序列。
4.拓撲排序，其實就是一個有向圖構造拓撲序列的過程。構造時會有兩個結果，如果此網的全部頂點都被輸出，則說明它是不存在環（回路）的AOV網；如果輸出頂點數少了，也說明這個網存在環（回路），不是AOV網。
5.拓撲排序算法：
（1）對AOV網進行拓撲排序的基本思路是：從AOV網中選擇一個入度為0的頂點輸出，然後刪去此頂點，並刪除以此頂點為尾的弧，繼續重復此步驟，直到輸出全部頂點或者AOV網中不存在入度為0的頂點為止。
（2）由於拓撲排序的過程中，需要刪除頂點，顯然用鄰接表會更加方便。
**拓撲排序的整個算發起的時間復雜度為O(n+e)。
6.在一個表示工程的帶權有向圖中，用頂點表示事件，用有向邊表示活動，用邊上的權值表示活動的持續時間，這種有向圖的邊表示活動的網，我們稱之為AOE網。我們把AOE網中沒有入邊的頂點稱為始點或源點，沒有出邊的頂點稱為終點或匯點。
7.AOV網是頂點表示活動的網，它只描述活動之間的制約關系，而AOE網是用邊表示活動的網，邊上的權值表示活動持續的時間。
8.把路徑上各個活動所持續的時間之和稱為路徑長度，從源點到匯點具有最大長度的路徑叫關鍵路徑。
數據結構學習筆記（圖）