【bzoj1604】[Usaco2008 Open]Cow Neighborhoods 奶牛的鄰居 並查集+Treap/STL-set
阿新 • • 發佈：2017-07-11
多少 aps stl oot 絕對值 cmp rac 維護 屬於
題目描述
了解奶牛們的人都知道，奶牛喜歡成群結隊．觀察約翰的N(1≤N≤100000)只奶牛，你會發現她們已經結成了幾個“群”．每只奶牛在吃草的時候有一個獨一無二的位置坐標Xi，Yi(l≤Xi，Yi≤[1．.10^9]；Xi，Yi∈整數．當滿足下列兩個條件之一，兩只奶牛i和j是屬於同一個群的： 1．兩只奶牛的曼哈頓距離不超過C(1≤C≤10^9)，即lXi - xil+IYi - Yil≤C. 2．兩只奶牛有共同的鄰居．即，存在一只奶牛k，使i與k，j與k均同屬一個群． 給出奶牛們的位置，請計算草原上有多少個牛群，以及最大的牛群裏有多少奶牛輸入
第1行輸入N和C，之後N行每行輸入一只奶牛的坐標．
輸出
僅一行，先輸出牛群數，再輸出最大牛群裏的牛數，用空格隔開．
樣例輸入
4 2
1 1
3 3
2 2
10 10
樣例輸出
2 3
題解
為了練習Treap找到的這道略神的題
首先直接處理曼哈頓距離不是特別容易，我們可以把所有的點繞著原點逆時針旋轉45°，這樣原來的點$(x,y)$就變為了$(\frac{x-y}{\sqrt 2},\frac{x+y}{\sqrt 2})$，查詢的區域變為了矩形範圍，切比雪夫距離（橫縱坐標差的絕對值最大值）不超過$\frac c{\sqrt 2}$。
然後約掉$\frac 1{\sqrt 2}$，就變為普通的矩形區域查詢問題。
先將所有變換後的點按照橫坐標排序，然後從左往右掃，將左面橫坐標不滿足條件的點刪除。然後考慮連邊：我們沒有必要將所有在範圍之內的點與當前點連邊，只需要將當前點與第一個縱坐標比它大的點、第一個縱坐標比它小的點，如果滿足條件就連邊。
證明：使用數學歸納法
兩個點之間使用這種方法是一定能夠連上的。
如果k個點連上了，且縱坐標都比當前點大，並且橫坐標滿足條件，如果這種方法是不成立的，那麽不妨設y1、y2，其中y1為縱坐標最接近當前點，y2為要連的點，我們要證的就是“當前點與y2有邊，與y1沒有邊”是假命題。證明顯然~
縱坐標比當前點小的時候同理。
於是k+1個點也能連上。命題得證。
回到題中，刪點加點、查詢前驅後繼可以使用平衡樹，維護連通性可以使用並查集。最後掃一遍每個點即可得到答案。
時間復雜度$O(n\log n)$。
事實上，STL的set比Treap還快~
Treap：
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
struct data
{
int x , y;
}a[N];
typedef pair<int , int> pr;
int l[N] , r[N] , rnd[N] , tot , root , f[N] , tmp , num[N];
pr w[N];
bool cmp(data a , data b)
{
return a.x < b.x;
}
void zig(int &k)
{
int t = l[k];
l[k] = r[t] , r[t] = k , k = t;
}
void zag(int &k)
{
int t = r[k];
r[k] = l[t] , l[t] = k , k = t;
}
void insert(int &k , pr x)
{
if(!k) k = ++tot , w[k] = x , rnd[k] = rand();
else if(x < w[k])
{
insert(l[k] , x);
if(rnd[l[k]] < rnd[k]) zig(k);
}
else
{
insert(r[k] , x);
if(rnd[r[k]] < rnd[k]) zag(k);
}
}
void del(int &k , pr x)
{
if(x == w[k])
{
if(!l[k] || !r[k]) k = l[k] + r[k];
else if(rnd[l[k]] < rnd[k]) zig(k) , del(r[k] , x);
else zag(k) , del(l[k] , x);
}
else if(x < w[k]) del(l[k] , x);
else del(r[k] , x);
}
void pre(int k , pr x)
{
if(!k) return;
else if(x < w[k]) pre(l[k] , x);
else tmp = w[k].second , pre(r[k] , x);
}
void sub(int k , pr x)
{
if(!k) return;
else if(x < w[k]) tmp = w[k].second , sub(l[k] , x);
else sub(r[k] , x);
}
int find(int x)
{
return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}
int main()
{
int n , c , i , u , v , p = 1 , ans = 0 , mx = 0;
scanf("%d%d" , &n , &c);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d%d" , &u , &v) , a[i].x = u - v , a[i].y = u + v , f[i] = i;
sort(a + 1 , a + n + 1 , cmp);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
while(p < i && a[i].x - a[p].x > c) del(root , pr(a[p].y , p)) , p ++ ;
tmp = 0 , pre(root , pr(a[i].y , i));
if(tmp && a[i].y - a[tmp].y <= c) f[find(i)] = find(tmp);
tmp = 0 , sub(root , pr(a[i].y , i));
if(tmp && a[tmp].y - a[i].y <= c) f[find(i)] = find(tmp);
insert(root , pr(a[i].y , i));
}
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) num[find(i)] ++ ;
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
if(num[i])
ans ++ , mx = max(mx , num[i]);
printf("%d %d\n" , ans , mx);
return 0;
}
STL-set：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <set>
#define N 100010
using namespace std;
struct data
{
int x , y;
}a[N];
typedef pair<int , int> pr;
set<pr> s;
set<pr>::iterator it;
int f[N] , num[N];
bool cmp(data a , data b)
{
return a.x < b.x;
}
int find(int x)
{
return x == f[x] ? x : f[x] = find(f[x]);
}
int main()
{
int n , c , i , u , v , p = 1 , ans = 0 , mx = 0;
scanf("%d%d" , &n , &c);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d%d" , &u , &v) , a[i].x = u - v , a[i].y = u + v , f[i] = i;
sort(a + 1 , a + n + 1 , cmp);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
while(p < i && a[i].x - a[p].x > c) s.erase(pr(a[p].y , p)) , p ++ ;
it = s.upper_bound(pr(a[i].y , i));
if(it != s.end() && it->first - a[i].y <= c) f[find(i)] = find(it->second);
if(it != s.begin() && a[i].y - (--it)->first <= c) f[find(i)] = find(it->second);
s.insert(pr(a[i].y , i));
}
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) num[find(i)] ++ ;
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
if(num[i])
ans ++ , mx = max(mx , num[i]);
printf("%d %d\n" , ans , mx);
return 0;
}
【bzoj1604】[Usaco2008 Open]Cow Neighborhoods 奶牛的鄰居 並查集+Treap/STL-set