題目描述

　 BG 有一塊細長的蛋糕，長度為 n。
　　有一些人要來 BG 家裏吃蛋糕， BG 把蛋糕切成了若幹塊(整數長度)，然後分給這些人。
　　為了公平，每個人得到的蛋糕長度和必須相等，且必須是連續的一段。
　　但是， BG 並不知道要有多少人來。 他只知道， 來的人數為n的約數，且小於n。

　　顯然把蛋糕平均分成 n 塊一定能滿足要求。但是， BG 想要分出的塊數盡量少。現在 BG
　　想知道，他要把蛋糕分成至少多少塊，才能使得不管多少人來都能滿足要求。

輸入格式

　　輸入文件名為 cake.in。
　　輸入共一個整數 n，表示蛋糕的長度。

輸出格式

　　輸出文件名為 cake.out。

樣例輸入1

　　6

樣例輸出1

　　4

樣例輸入2

　　15

樣例輸出2

　　7

題目分析

　　拿15的分割為例子：

　　 可以看出切割處均為15的約數(在15處會出現重疊)，

　　若設 f(x) 表示15中x的倍數有幾個，則答案應為

　　$$ans = f(3) + f(5) - f(15) $$

　　其實就是n - 小於n且與n互質的數---->歐拉函數

　　歐拉函數$\phi$(n) ： $\phi$(n) 表示[1, n]中與 n 互質的整數的個數。

　　主要公式: $$phi(n) = n · prod_{p \in P} \frac{p - 1}{p}$$

　　歐拉函數有兩種求法：

• 多個數的歐拉函數

void sieve() {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; ++i) {
        if (!pr[i])
            prime[pn++] = pr[i] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 0; j < pn; ++j) {
            int k = i * prime[j];
            if (k >= N) break;
            pr[k] 
 
= prime[j];
            if (i % prime[j] == 0) {
                phi[k] = phi[i] * prime[j];
                break;
            } else 
                phi[k] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}

• 求一個數的歐拉函數

    p = ans = n;
    for(int i = 2; i * i <= p; i++){
        if(p % i == 0) ans = ans / i * (i - 1) ;
        while(p % i == 0) p /= i;
    }
    if(p != 1)
        ans = ans / p *(p - 1) ;

　　本題只需求一個值。

CODE

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

int phi;
int ans;
int n, p;

int main(){
    cin>>n;
    p = ans = n;
    for(int i = 2; i * i <= p; i++){
        if(p % i == 0) ans = ans / i * (i - 1) ;
        while(p % i == 0) p /= i;
    }
    if(p != 1)
        ans = ans / p *(p - 1) ;
    cout<<n - ans;
    return 0;
}

NOIP模擬:切蛋糕(數學歐拉函數)