要學樹狀數組的先看懂一幅圖

這就是樹狀數組的存儲方式。

那麽樹狀數組的優點是什麽呢，允許任意修改，可快速提取出a數組內數字

據圖可知

c1=a1，

c2=a1+a2，

c3=a3，

c4=a1+a2+a3+a4，

c5=a5，

c6=a5+a6，

c7=a7，

c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，

c9=a9，

c10=a9+a10，

c11=a11.......

.c16=a1+a2+a3+a4+a5+.......+a16。

分析上面的幾組式子可知，當 i 為奇數時，ci=ai ；當 i 為偶數時，就要看 i 的因子中最多有二的多少次冪，例如，6 的因子中有 2 的一次冪，等於 2 ，所以 c6=a5+a6（由六向前數兩個數的和），4 的因子中有 2 的兩次冪，等於 4 ，所以 c4=a1+a2+a3+a4（由四向前數四個數的和）。

（一）因此得到公式 cn=a(n-a^k+1)+.........+an（其中 k 為 n 的二進制表示中從右往左數的 0 的個數）。

那麽，如何求 a^k 呢？求法如下：

1 int lowbit(int x)

2 {

3 return x&(-x);

4 }

為啥那？

以68為例，他的二進制是（68）₂=1000100. 那麽-68呢？因為計算機裏的整數采用補碼表示（補碼是原碼取反加一），因此-68實際上是68按位取反，末尾加一以後的結果。如下表（忽略符號位）：

原碼 1 0 0 0 1 0 0

↓

反碼 0 1 1 1 0 1 1

↓

補碼 0 1 1 1 1 0 0

我們把（68）₂和（-68）₂放在一起看一看：

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0 0

發現他們末尾帶的0是一樣多的。因此lowbit(x)=x&-x. （&是轉換成二進制之後進行與運算；而&&是直接進行與運算）

（二）由此，我們就可以求出c數組了

1 int sum(int x)
2 {
3     int sum=0;
4     while(x>0)
5     {
6         sum+=c[x];
7         x-=lowbit(x);
8     }
9 }

（三）當數組中的元素有變更時，樹狀數組就發揮它的優勢了，算法如下（修改為給某個節點 i 加上 x ）：

1 void change(int i,int x)
2 {
3     while(i<=n)
4     {
5         c[i]+=x;
6         i+=lowbit(i)
7     }
8 }

嗯。就這樣。不算難。大概就是一種可變更的存儲方式吧

[算法 樹狀數組]