emma size div from 前綴和 urn rom 效率 [1]

今天我們分享一下樹狀數組，前置知識-了解樹的結構，知道什麽是左右兒子，各個節點的名稱，也就是有點基礎吧。今天以一個實際問題引出樹狀數組吧，中查詢l-r的區間。（以B站大佬的課件為例子，可以關註下，在最後放上鏈接）

如果是暴力的話，顯然時間復雜度是接受不了的（o(n方)),為了解決這個問題，我們就要用一些高級的數據結構。就是我們今天介紹的樹狀數組。

首先看下樹狀數組是什麽，

樹狀數組(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一個查詢和修改復雜度都為log(n)的數據結構。主要用於查詢任意兩位之間的所有元素之和，但是每次只能修改一個元素的值；經過簡單修改可以在log(n)的復雜度下進行範圍修改，但是這時只能查詢其中一個元素的值(如果加入多個輔助數組則可以實現區間修改與區間查詢)。 這種數據結構（算法）並沒有C++和Java的庫支持，需要自己手動實現。在Competitive Programming的競賽中被廣泛的使用。樹狀數組和線段樹很像，但能用樹狀數組解決的問題，基本上都能用線段樹解決，而線段樹能解決的樹狀數組不一定能解決。相比較而言，樹狀數組效率要高很多。(百度上的） 然後在介紹前綴和，b[1] = a[1],b[2] = a[1] + a[2],b[3] = a[1] + a[2] +a[3]........b[n] = a[1] + a[2] + a[3] + ..... + a[n].這就是前綴和的概念，其實樹狀數組就是在維護一個前綴和。 再介紹lowbit函數，用於再左右兒子或者是父節點，偽代碼為 return x & (-x),就是返回某個數二進制從右往左的第一個一所代表的數，x於lowbit函數的關系如下、

一個左兒子的父節點表示為x + lowbit(x),同理右兒子的父親表示為 x - lowbit(x),把圖畫出來，是不是很像二叉搜索樹，

最後，給個樹狀數組的模板題吧，

如題，已知一個數列，你需要進行下面兩種操作：

1.將某區間每一個數加上x

2.求出某區間每一個數的和

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行包含兩個整數N、M，分別表示該數列數字的個數和操作的總個數。

第二行包含N個用空格分隔的整數，其中第i個數字表示數列第i項的初始值。

接下來M行每行包含3或4個整數，表示一個操作，具體如下：

操作1： 格式：1 x y k 含義：將區間[x,y]內每個數加上k

操作2： 格式：2 x y 含義：輸出區間[x,y]內每個數的和

輸出格式：

輸出包含若幹行整數，即為所有操作2的結果。（洛谷的題，https://www.luogu.org/problemnew/show/P3372）

輸入樣例

5 5
1 5 4 2 3
2 2 4
1 2 3 2
2 3 4
1 1 5 1
2 1 4

輸出樣例

11
8
20

附上AC代碼

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using
 
 namespace std;

const int N = 1e7 + 5;    
int n,m,a;
int d[N];     //存前綴和的數組

int lowbit(int x)
{
    return x & (-x);
}

int query(int x)  //查詢操作
{
    int res = 0;
    while(x)    //x > 0,x從左邊找父親節點相加
    {
        res += d[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}

void add(int x,int val)
{
    while(x <= n)
    {
        d[x] += val;
        x += lowbit(x);   //從左到右構建樹狀數組
    }
}

int sum(int x)
{
    int total = 0;
    while(x != 0)
    {
        total += d[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return total;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        cin >> a;
        add(i,a);
    }
    while(m--)
    {
        int f,x,y;
        cin >> f >> x >> y;
        if(f == 1)
        {
            add(x,y);
        }
        if(f == 2)
        {
            cout << sum(y) - sum(x - 1) << endl;
        }

    }
    return 0;

}

最後的最後附上B站大佬的鏈接，https://www.bilibili.com/video/av36663299?from=search&seid=7911780148837730858

算法基礎-樹狀數組