最小生成樹之Prim算法
普裏姆算法（Prim算法），圖論中的一種算法。可在加權連通圖裏搜索最小生成樹。
意即由此算法搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包含了連通圖裏的全部頂點。且其全部邊的權值之和亦為最小。該算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克發現；並在1957年由美國計算機科學家羅伯特·普裏姆獨立發現。1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該算法。因此，在某些場合，普裏姆算法又被稱為DJP算法、亞爾尼克算法或普裏姆－亞爾尼克算法。我們之前介紹的Kruskal算法適用於稀疏圖(一般我們覺得滿足|E| < V*(V-1)/4時。圖為稀疏圖， |E|為邊的數量，V為頂點數)。
我們將要介紹的Prim算法則是適用於稠密圖(我們這裏所說的適用於某種情況。僅僅表示該算法在這個條件下效率最優)。
1、算法描寫敘述
從單一頂點開始，普裏姆算法依照下面步驟逐步擴大樹中所含頂點的數目，直到遍及連通圖的全部頂點。
輸入：一個加權連通圖，當中頂點集合為V，邊集合為E
輸出：使用集合Vnew和Enew來描寫敘述所得到的最小生成樹
算法流程：
1.初始化：Vnew = {x}，當中x為集合V中的任一節點（起始點），Enew = {}。
2.反復下列操作，直到Vnew = V:
<1>在集合E中選取權值最小的邊（u, v），當中u為集合Vnew中的元素。而v則是V中沒有增加Vnew的頂點（假設存在有多條滿足前述條件即具有同樣權值的邊。則可隨意選取當中之中的一個）；
<2>將v增加集合Vnew中，將（u, v）增加集合Enew中。
以下給出一個無向圖，每條邊上的數字為權值：
我們任選一個頂點作為起始點。這裏我們隨便選一個。就以D作為起始點。
如今集合Vnew = { D }， Enew = { }。頂點A、B、E和F通過單條邊與D相連。A是距離D近期的頂點，因此將A及相應邊AD以高亮表示(下同)。由於頂點A是距離集合Vnew近期的點。所以我們將A增加集合。所以如今集合為 Vnew = { A， D}， Enew = { (A, D) }。
下一個頂點為距離集合Vnew近期的頂點(也就是距離D或A近期的點)。B距D為9，距A為7。E為15，F為6。因此，F距D或A近期。所以我們將頂點F增加集合Vnew，將邊(D, F)增加集合 Enew。如今集合變為 Vnew = { A。 D, F }, Enew = { (A, D) , (D, F) }。
我們繼續反復上面的步驟。
我們能夠發現距離集合Vnew近期的點為B，(A, B)距離為 7 。所一我們將B增加集合Vnew。 將邊(A, B)增加集合Enew。如今集合就變為 Vnew = { A, B, D, F }, Enew = { (A, B), (A, D), (D, F) }。
我們僅僅要不斷的反復上述步驟，非常快我們就找到了該圖的最小生成樹(如圖所看到的)
有興趣的朋友，還能夠試試用其它頂點作為起點看看答案是否一致。最後你會驚奇的發現不管你取哪一個點。最後的答案都是一致的。
2、Prim算法的時間復雜度
Prim算法循環|V| - 1，每次都要尋找距離集合Vnew的最小值。 掃描與一個點所連接的全部邊。
假設使用將一個點全部的邊都掃描一遍的算法，則時間復雜度為O(|V|2 + |E|)。
假設我們使用二叉堆來實現查找距離集合Vnew的最小值。則時間復雜度為O(|E| log |V| )。
假設使用斐波那契堆優化的話，那麽時間復雜度將能夠近一步優化為O(|E| + |V | log|V|)。
3*、Prim算法的證明（不感興趣的能夠直接跳過）
設Prim生成的樹為G0 如果存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 則在Gmin中存在(u,v)不屬於G0 將(u,v)增加G0中可得一個環，且(u,v)是該環的最長邊 這與prim每次生成最短邊矛盾 故如果不成立，得證.
4、Prim算法的實現
這裏我們就用一到題目來說明Prim算法的實現 還是暢通project 。大家能夠先思考思考，看看能不能依據上面的描寫敘述自己實現Prim算法。以下附上這一題的代碼，以供參考：
【未優化版】
#include <cstdio>
#include <vector>
#define INF 0xfffffff
#define MAXN 100 + 10
using namespace std;
struct Vex{
int v, weight;
Vex(int tv, int tw):v(tv), weight(tw){}
};
vector<Vex> graph[MAXN];
bool inTree[MAXN];
int mindist[MAXN];
void Init(int n){
for(int i = 1; i <= n; i++){
mindist[i] = INF;
inTree[i] = false;
graph[i].clear();
}
}
int Prim(int s, int n){
int addNode, tempMin, tempVex ,ret = 0;
//將頂點S增加集合Vnew
inTree[s] = true;
//初始化，各點到集合Vnew的距離， 數組mindist表示各點到集合Vnew的最小距離
for(unsigned int i = 0; i < graph[s].size(); i++)
mindist[graph[s][i].v] = graph[s][i].weight;
//由於還有n-1個點沒有增加集合Vnew。所以還要進行n-1次操作
for(int NodeCount = 1; NodeCount <= n-1; NodeCount++){
tempMin = INF;
//在還沒有增加集合Vnew的點中查找距離集合Vnew最小的點
for(int i = 1; i <= n; i++){
if(!inTree[i] && mindist[i] < tempMin){
tempMin = mindist[i];
addNode = i;
}
}
//將距離集合Vnew距離最小的點增加集合Vnew
inTree[addNode] = true;
//將新增加邊的權值計入ret
ret += tempMin;
//更新還沒有增加集合Vnew的點 到 集合Vnew的距離
for(unsigned int i = 0; i < graph[addNode].size(); i++){
tempVex = graph[addNode][i].v;
if(!inTree[tempVex] && graph[addNode][i].weight < mindist[tempVex]){
mindist[tempVex] = graph[addNode][i].weight;
}
}
}
return ret;
}
int main(){
int n;
int v1, v2, weight;
while(scanf("%d", &n), n){
Init(n);
for(int i = 0; i < n*(n-1)/2; i++){
scanf("%d%d%d", &v1, &v2, &weight);
graph[v1].push_back(Vex(v2, weight));
graph[v2].push_back(Vex(v1, weight));
}
printf("%d\n", Prim(1, n));
}
return 0;
}
【堆優化版】
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#define INF 0xfffffff
#define MAXN 100 + 10
using namespace std;
struct Vex{
int v, weight;
Vex(int tv = 0, int tw = 0):v(tv), weight(tw){}
bool operator < (const Vex& t) const{
return this->weight > t.weight;
}
};
vector<Vex> graph[MAXN];
bool inTree[MAXN];
int mindist[MAXN];
void Init(int n){
for(int i = 1; i <= n; i++){
mindist[i] = INF;
inTree[i] = false;
graph[i].clear();
}
}
int Prim(int s, int n){
priority_queue<Vex> Q;
Vex temp;
//res用來記錄最小生成樹的權值之和
int res = 0;
//將s增加集合Vnew。並更新與點s相連接的各點到集合Vnew的距離
inTree[s] = true;
for(unsigned int i = 0; i < graph[s].size(); i++){
int v = graph[s][i].v;
if(graph[s][i].weight < mindist[v]){
mindist[v] = graph[s][i].weight;
//更新之後。增加堆中
Q.push(Vex(v, mindist[v]));
}
}
while(!Q.empty()){
//取出到集合Vnew距離最小的點
temp = Q.top();
Q.pop();
int addNode = temp.v;
if(inTree[addNode]) continue;
inTree[addNode] = true;
res += mindist[addNode];
//更新到集合Vnew的距離
for(unsigned int i = 0; i < graph[addNode].size(); i++){
int tempVex = graph[addNode][i].v;
if(!inTree[tempVex] && mindist[tempVex] > graph[addNode][i].weight){
mindist[tempVex] = graph[addNode][i].weight;
Q.push(Vex(tempVex, mindist[tempVex]));
}
}
}
return res;
}
int main(){
int n;
int v1, v2, weight;
while(scanf("%d", &n), n){
Init(n);
for(int i = 0; i < n*(n-1)/2; i++){
scanf("%d%d%d", &v1, &v2, &weight);
graph[v1].push_back(Vex(v2, weight));
graph[v2].push_back(Vex(v1, weight));
}
printf("%d\n", Prim(1, n));
}
return 0;
}
假設不了解priority_queue的朋友能夠參考：Here。
【斐波那契堆優化】
先挖個坑，以後再填，有興趣的朋友能夠自行完好。
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