我們知道,求逆序對最典型的方法就是歸並排序，但是還有一種方法就是樹狀數組。假如你理解了樹狀數組，樹狀數組求逆序對相比歸並排序排序要更好理解一些，而且樹狀數組的代碼量也要少一些。

我們先看一下逆序對是什麽吧。

　　逆序對就是序列a中ai>aj且i<j的有序對。

　根據上面的定義我們很快的就可以寫出O(n^2)的算法，即枚舉j，再枚舉所有小於j的i，統計ai>aj的數量。但這個算法當時間復雜度過高。

　如果我們能快速的統計出ai>aj的數量，時間復雜度就可以得到很好的提升。

樹狀數組就可以很好的做到這一點。

我們可以先開一個大小為a的最大值的數組t，每當讀入一個數時，我們可以用桶排序的思想，將t[a[i]]加上1,然後我們統計t[1]~t[a[i]]的和ans，ans - 1（除掉這個數本身）就是在這個數前面有多少個數比它小。我們只要用i-ans就可以得出前面有多少數比它大，也就是逆序對的數量。

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) (x)&(-x)
using namespace std;

const int maxn = 1e6+10;
int t[maxn],n,result;

void add(int x)
{
    while(x<=maxn)
    {
        t[x]++;
        x += lowbit(x);
    }
}

int query(int x)
{
    int ans=0;
    for (;x;x-=lowbit(x))
        ans+=t[x];
    
 
return ans;
}

int main()
{
    int temp;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&temp);
        add(temp);
        result += i - query(temp);
    }
    printf("%d\n",result);
    return 0;
}

現在這個代碼可以在數的最大值比較小的時候可以正確的得出答案，如果數據很大，這回造成我們要開的空間很大。

我們是否可以適當的減少空間的需求呢？我們看看下面這些數：

1 2 3 4 5 10

這6個數我們需要使用大小10的數組來存儲，我們仔細想想，可以發現中間 6 7 8 9 這4個位置是沒有用到的，也就是說這4個空間被浪費了。怎樣減少這樣的浪費呢？

我們可以在讀完數數據後對他進行從小到大排序，我們用排完序的數組的下標來進行運算。這樣可以保證小的數依舊小，大的數依舊大。這一步叫做離散化。

struct Node
{
    int v;//數字本身
    int order;//原序列的的下標
}a[500005];

int reflect[500005];//用來存儲原數第i個數的order下標是什麽

//計算relect數組
relect[a[i].order] = i;

以上就是離散化的核心部分代碼。

完整程序

代碼來自：http://blog.csdn.net/SeasonJoe/article/details/50193789?locationNum=15&fps=1

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn= 500005;
int aa[maxn];//離散化後的數組
int c[maxn]; //樹狀數組
int n;

struct Node
{
    int v;
    int order;
}a[maxn];

bool cmp(Node a, Node b)
{
    return a.v < b.v;
}

int lowbit(int k)
{
    return k&(-k); //基本的lowbit函數 
}

void update(int t, int value)
{     //即一開始都為0，一個個往上加（+1），
    int i;
    for (i = t; i <= n; i += lowbit(i))
        c[i] += value;  
}

int getsum(int t)
{  //即就是求和函數，求前面和多少就是小於它的個數
    int i, sum = 0;
    for (i = t; i >= 1; i -= lowbit(i))
        sum += c[i];
    return sum;
}

int main()
{
    int i;
    while (scanf("%d", &n), n)
    {
        for (i = 1; i <= n; i++) //離散化
        {
            scanf("%d", &a[i].v);
            a[i].order = i;
        }
        sort(a + 1, a + n + 1,cmp);//從1到n排序,cmp容易忘
        memset(c, 0, sizeof(c));
        for (i = 1; i <= n; i++)
            aa[a[i].order] = i;
        __int64 ans = 0;
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
            update(aa[i], 1);
            ans += i - getsum(aa[i]); //減去小於的數即為大於的數即為逆序數
        }
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}

樹狀數組求逆序對