一、快速冪取模概念

　　快速冪取模，顧名思義，就是快速的求一個冪式的模(余)，比如a^b%c，快速的計算出這個式子的值。

　　在程序設計過程中，經常要去求一些大數對於某個數的余數，為了得到更快、計算範圍更大的算法，產生了快速冪取模算法。

二、快速冪取模算法實現

　1）很容易能想到，循環b次，每次乘a，最後對c取余就可以了。

int ans = 1;
for(int i = 1; i<=b; i++)
{
    ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

　　這個樸素算法的問題是：

　　　　1.如果a和b都很大，那麽ans很有可能超出long long類型，最後結果錯誤

　　　　2.如果b很大，這樣計算會超時。

　　所以對這個算法需要改進

　2）有一個很簡單的公式如下：

　　證明略，由上面公式我們可以對上面算法進行優化

int ans = 1;
a = a % c;
for(int i = 1; i<=b; i++)
{
    ans = (ans * a) % c；//這裏再取了一次余
}
ans = ans % c；

　　這樣就解決了超出long long的問題了，但是時間復雜度還沒有降低。

　3）為了解決超時問題，我們可以使用下面的公式，證明略

int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
    ans 
 
= (ans * a) mod c; //如果是奇數，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我們取a2而不是a
for(int i = 1; i<=b/2; i++)   　　
{
    ans = (ans * k) % c;
}
ans = ans % c;

　　這樣，我們就把時間復雜度降到b/2了，觀察上式子，可以發現，當我們令k = (a * a) mod c時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為(k)^b/2 mod c而不是原來的a^b mod c，當下次求(k)^b/2 mod c時，我們可以繼續對這個式子記成上面格式，我們發現這個過程是可以重復下去的。

　4）最終我們得到快速冪取模的算法

int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)　
{
    if(b % 2 == 1)
        ans = (ans * a) % c;
    b = b/2;
    a = (a * a) % c;　
}

三、快速冪取模模板

int PowerMod(int a, int b, int c)//a^b%c
{
    int ans = 1;
    a = a % c;
    while(b>0)
    {
        if(b % 2 = = 1)
            ans = (ans * a) % c;
        b = b/2;
        a = (a * a) % c;
        　　　　
    }
    return ans;
    　　
}

四、快乘取模

　1.概念：

　　快速乘法是求兩個數相乘，即求解a*b%c，很明顯這個不會超時，但是如果當a和b特別大的時候，兩個數相乘可能超過long long 範圍，所以要使用快速乘法，因為在加法運算的時候不會超，而且可以直接取模，這樣就會保證數據超不了了。快速乘法的思想和快速冪的思想一樣，快速冪是求一個數的高次冪，快速乘法是求兩個數相乘。

　2.算法實現：

　　這樣的式子和a^b%c很像，所以可以用類似於快速冪取模的方法來做。即，將b寫成二進制來看，然後拆開相加（正因為二進制的特殊性，才有快速乘和快速冪的成功），比如下面的例子：

32+16+4=52 （實際操作過程中，每次相加都取模）

這一過程和快速冪取模非常相似。

　3.模板：

int multiMod(int a, int b, int c)
{
    int ans = 0;//註意初始化是0，不是1
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans=(ans+a)%c;
        a = (a + a) % c;//和快速冪一樣，只不過這裏是加
        b >>= 1;
    }
    return ans;　
}

快速冪取模和快乘取模