快速冪和快速冪取模
阿新 • • 發佈：2018-10-06
它的 signed 1.5 原來 現在 轉化 mil ram 自己
首先，快速冪的目的就是做到快速求冪，假設我們要求a^b,按照樸素算法就是把a連乘b次，這樣一來時間復雜度是O(b)也即是O(n)級別，快速冪能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：
假設我們要求a^b，那麽其實b是可以拆成二進制的，該二進制數第i位的權為2^(i-1)，例如當b==11時，a^11=a^(2^0+2^1+2^3)
11的二進制是1011，11 = 23×1 + 22×0 + 21×1 + 2o×1，因此，我們將a11轉化為算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) ，看出來快的多了吧原來算11次，現在算三次，但是這三項貌似不好求的樣子....不急，下面會有詳細解釋。int poww(int a,int b){ int ans=1,base=a; while(b!=0){ if(b&1!=0) ans*=base; base*=base; b>>=1; } return ans; }
代碼很短，死記也可行，但最好還是理解一下吧，其實也很好理解，以b==11為例，b=>1011,二進制從右向左算，但乘出來的順序是 a^(2^0) * a^(2^1) * a^(2^3)，是從左向右的。我們不斷的讓base*=base目的即是累乘，以便隨時對ans做出貢獻。
其中要理解base*=base這一步，看：：：base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然後同理 base^4 * base4 = base^8 ,,,,, see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指數正是 2^i 啊，再看上面的例子，a11 = a^(2^0) * a^(2^1) * a^(2^3)，這三項是不是完美解決了，，嗯，快速冪就是這樣。
順便啰嗦一句，由於指數函數是爆炸增長的函數，所以很有可能會爆掉int的範圍，根據題意決定是用 long long啊還是unsigned int啊還是mod某個數啊自己看著辦。
還有，矩陣快速冪的求法唯一的區別就是*換成矩陣中的乘法，寫個函數代換嘛，思想一毛一樣。
快速冪取模：（萬變不離其中！！！）
int power(int a, int b, int mod) { int ans = 1, base = a%mod; while (b!=0) { if (b & 1!=0) ans = (ans*base)%mod; base=(base*base)%mod; b >>= 1; } return res; }
快速冪和快速冪取模