乘法逆元及其求法

1.乘法逆元定義：在wiki中也叫倒數，當然是% p 後的，其實就是倒數。如果ax≡1(mod p),且gcd（a，p）=1（a與p互質），則稱a關於模p的乘法逆元為x。

在求解除法取模問題(a/b)%m時，我們可以轉化為(a%(b∗m))/b，
但是如果b很大，則會出現爆精度問題，所以我們避免使用除法直接計算。
可以使用逆元將除法轉換為乘法：
假設b存在乘法逆元，即與m互質（充要條件）。設c是b的逆元，即b∗c≡1(modm)，那麽有a/b=(a/b)∗1=(a/b)∗b∗c=a∗c(modm)

• 逆元求解一般利用擴歐。
• 當m為質數的時候直接使用費馬小定理，m非質數使用歐拉函數。
• 當m為質數的時候，神奇的線性方法。

2.費馬小定理：假如a是一個整數，p是一個質數，那麽是a的倍數，可以表示為 如果a不是p的倍數，也可以寫成

3.拓展歐幾裏得：已知整數a，b，拓展歐幾裏得算法可以在求得a，b的最大公約數的同時，能找到整數x，y（其中一個很可能是負數），使它們滿足貝祖等式

4.分析乘法逆元：ax≡1 (mod p) 這個等式用中文描述就是 a乘一個數x並模p等於1，即 a%p * x%p = res, res % p=1;看上去就是同余定理的一個簡單等式 - -。那麽問題來了。

5.為什麽可以用擴展歐幾裏得求得逆元？我們知道模就是余數，比如12%5=12-5*2=2，18%4=18-4*4=2 那麽ax ≡ 1(mod p)即 ax - yp =1.把y寫成+的形式就是ax+py=1，為方便理解下面，我們把p寫成b就是ax + by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然後就可以用歐幾裏得求。

6.乘法逆元有什麽用？做題時如果結果過大一般都會讓你模一個數，確保結果不是很大，而這個數一般是1e9+7，而且這個數又是個素數，加減乘與模運算的順序交換不會影響結果，但是除法不行。有的題目要求結果mod一個大質數，如果原本的結果中有除法，比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。

拓展歐幾裏得求逆元代碼：【時間復雜度為O(logn)】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)
{
    if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    else{ exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}

ll inv(ll a, ll p)
{
    ll d, x, y;
    exgcd(a, p, d, x, y);
    return d == 1 ? (x+p)%p : -1;
}

int main()
{
    ll a,p;
    while(1)
    {
        scanf("%lld %lld",&a,&p);
        printf("%lld\n",inv(a,p));
    }
}

費馬小定理求逆元代碼：【O（log2N），在幾次測試中，常數似乎較上種方法大】

ll power_mod(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) 
            ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
inv2 = power_mod(a, mod - 2, mod);

當模p不是素數的時候需要用到歐拉定理

歐拉定理求逆元代碼：【O(√n)，即求出單個歐拉函數的值】

int eurler_phi(int n)
{
    int res = n;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++){
        if(n % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n != 1) res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

參考：乘法逆元小結+ 逆元的幾種求法（擴展歐幾裏得，費馬小定理或歐拉定理，特例，打表等）+ ACM數論之旅6---數論倒數，又稱逆元（我整個人都倒了(￣﹏￣)）

乘法逆元模板