http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1256

解題關鍵：設$m \in {N_ + }$，則$a$在模$m$的意義下存在唯一的逆元，若$(a,m) \ne 1$，則$a$沒有模$m$的逆元；

法一：費馬小定理求解${a^{\phi (p)}} = 1\bmod p$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define PI  acos(-1.0)
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 ll mod_pow(ll x,ll n,ll p){
 
 6     ll res=1;
 7     while(n){
 8         if(n&1) res=res*x%p;
 9         x=x*x%p;
10         n>>=1;
11     }
12     return res;
13 }
14 ll euler_phi(int n){
15     int res=n;
16     for(int i=2;i*i<=n;i++){
17         if(n%i==0){
18             res=res/i*(i-1);
19             while
 
(n%i==0) n/=i;
20         }
21     }
22     if(n!=1) res=res/n*(n-1);
23     return res;
24 }
25 
26 
27 int main(){
28     int a,b;
29     cin>>a>>b;
30     ll m=euler_phi(b)-1;
31     ll ans=mod_pow(a,m,b);
32     cout<<ans<<endl;
33     return 0;
34 }

法二：拓展歐幾裏得算法求解

註意x可能為負，但不會超過-b

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define PI  acos(-1.0)
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 ll x,y;
 6 ll extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
 7     ll d=a;
 8     if(b){
 9         d=extgcd(b,a%b,y,x);
10         y-=a/b*x;
11     }
12     else{
13         x=1,y=0;
14     }
15     return d;
16 }
17 int main(){
18     int a,b;
19     cin>>a>>b;
20     extgcd(a,b,x,y);
21     cout<<(x+b)%b<<endl;
22     return 0;
23 }

[51nod1256]乘法逆元