[luogu P3216] [HNOI2011]數學作業

題目描述

小 C 數學成績優異，於是老師給小 C 留了一道非常難的數學作業題：

給定正整數 N 和 M，要求計算 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值，其中 Concatenate (1 ..N)是將所有正整數 1, 2, …, N 順序連接起來得到的數。例如，N = 13, Concatenate (1 .. N)=12345678910111213.小C 想了大半天終於意識到這是一道不可能手算出來的題目，於是他只好向你求助，希望你能編寫一個程序幫他解決這個問題。

輸入輸出格式

輸入格式：

從文件input.txt中讀入數據，輸入文件只有一行且為用空格隔開的兩個正整數N和M，其中30%的數據滿足1≤N≤1000000；100%的數據滿足1≤N≤1018且1≤M≤109.

輸出格式：

輸出文件 output.txt 僅包含一個非負整數，表示 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值。

輸入輸出樣例

13 13

4

很顯然，我們可以得到一個遞推式：fn=10^len(n)*fn-1+n。然後看到範圍那麽大，而式子很簡單，所以我們就將原式轉為矩陣。

顯然，根據原式，可以構造出如下矩陣：

{{fn} {{10^len(n),1,1} {{fn-1}

{n} = {0,1,1} * {n-1}

{1}} {0,0,1} {1}}

但是，我們發現，10^len(n)並不是一個常數。

怎麽辦？分段來求。1~9一段，10~99一段，100~999一段……10^k~n一段。

這樣，就可以避免這一項會變化的情況了。

看起來非常的easy，是不是？寫起來就不會這麽覺得了。

特別是邊界和細節，非常難以處理。調了整整2個多小時。。

code：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define LL unsigned long long
 3
 
 using namespace std;
 4 LL n,m,po[20],lim[20];
 5 struct Mat {
 6     LL a[3][3]; Mat() {memset(a,0,sizeof a);}
 7 }tran,ans;
 8 void pre() {
 9     tran.a[0][1]=1,tran.a[0][2]=1;
10     tran.a[1][0]=0,tran.a[1][1]=1,tran.a[1][2]=1;
11     tran.a[2][0]=0,tran.a[2][1]=0,tran.a[2][2]=1;
12     po[0]=0,po[1]=1; for (int i=2; i<=19; i++) po[i]=po[i-1]*10;
13     lim[0]=1; for (int i=1; i<=18; i++) lim[i]=lim[i-1]*10; lim[0]=2;
14     ans.a[0][0]=1,ans.a[1][0]=1,ans.a[2][0]=1;
15 }
16 Mat Mul(Mat u,Mat v) {
17     Mat w; int i,j,k;
18     for (i=0; i<3; i++)
19         for (j=0; j<3; j++)
20             for (k=0; k<3; k++)
21                 (w.a[i][j]+=u.a[i][k]*v.a[k][j])%=m;
22     return w;
23 }
24 Mat Qpow(Mat b,LL p) {
25     if (p==1) return b;
26     Mat t=Qpow(b,p/2); t=Mul(t,t);
27     return p%2==0?t:Mul(t,b);
28 }
29 int main() {
30     cin>>n>>m,pre();
31     for (int i=1; i<=18; i++) if (lim[i-1]<=n) {
32         tran.a[0][0]=po[i+1]%m;
33         if (i<18&&lim[i]-1<=n) ans=Mul(Qpow(tran,lim[i]-lim[i-1]),ans);
34         else if (lim[i]>n) ans=Mul(Qpow(tran,n-lim[i-1]+1),ans);
35     }else break;
36     cout<<ans.a[0][0]<<‘\n‘;
37     return 0;
38 }

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