2017 11.6 NOIP模擬賽
1.數學老師的報復
(attack.pas/c/cpp)
【問題描述】
11 班數學大佬 YXN 又在上數學課的時候把班主任 MP6 的錯誤當眾挑出來了,MP6 再一
次感到很難堪,於是決定報復 YXN
MP6 對 YXN 說:給你一個函數 f(x),定義如下:
f ( 1 ) = 1
f ( 2 ) = 1
f ( n ) = ( A * f ( n - 1 ) + B * f ( n - 2 ) ) mod 7。
YXN 說這還不簡單,可以秒殺!
MP6 微微笑了笑說:n 等於 100 你算得出來,那 n 等於 2147483648 呢?
YXN 啞口無言,決定向信息組的你求助。由於這是你唯一一次可以在數學題上秒殺 YXN，
【輸入】
僅一行包含 3 個整數 A,B 和 n。
【輸出】
一個整數,即 f ( n ) 的值。
【輸入輸出樣例】
樣例 1 樣例 2
attack.in attack.out attack.in attack.out
1 1 3
2
1 2 10
5
【數據說明】
20%的數據, n≤1,000
50%的數據, n≤100,000,000
100%的數據,n≤2147,483,648
思路 ：矩陣快速冪加速加速
轉置矩陣為 A 1
B 0
跑快速冪就好了
但是我一開始是騙分做的
因為 7 是一個很小的數 它的循環節不會很長
每次找出循環節的長度即可。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define ll long long 3 using namespace std; 4 ll n,aa,bb; 5 struct matrix{ 6 ll a[2][2]; 7 matrix(){memset(a,0,sizeof(a));} 8 matrix(ll b[2][2]) {for(int i=0;i<2;i++)for(int j=0;j<2;j++)a[i][j]=b[i][j];}矩陣9 matrix operator * (matrix b) 10 { 11 matrix ans; 12 for(int i=0;i<2;i++) 13 for(int j=0;j<2;j++) 14 for(int k=0;k<2;k++) 15 ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%7; 16 ans.a[0][0]%=7; 17 return ans; 18 } 19 }S,T; 20 21 inline ll read() 22 { 23 ll x=0,f=1;char c=getchar(); 24 while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();} 25 while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();} 26 return x*f; 27 } 28 29 int main() 30 { 31 freopen("attack.in","r",stdin); 32 freopen("attack.out","w",stdout); 33 while(scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&n)!=EOF) 34 { 35 n-=2; 36 if(n==-1) {printf("1");return 0;} 37 ll temp[2][2]={{aa,1},{bb,0}}; T=temp; 38 ll temp2[2][2]={{1,1},{0,0}}; S=temp2; 39 while(n) 40 { 41 if(n&1) S=S*T; 42 T=T*T; 43 n>>=1; 44 } 45 S.a[0][0]%=7; 46 printf("%lld",S.a[0][0]); 47 } 48 return 0; 49 }
1 #include <cctype> 2 #include <cstdio> 3 4 const int MAXN = 100010; 5 6 typedef long long LL; 7 8 int A, B; 9 10 LL n; 11 12 inline void read(int&x) { 13 int f = 1; register char c = getchar(); 14 for(x = 0; !isdigit(c); c == ‘-‘&&(f = -1), c=getchar()); 15 for(; isdigit(c); x = x * 10 + c - 48, c = getchar()); 16 x = x * f; 17 } 18 19 inline void read(LL&x) { 20 int f = 1; register char c = getchar(); 21 for(x = 0; !isdigit(c); c == ‘-‘&&(f = -1), c=getchar()); 22 for(; isdigit(c); x = x * 10 + c - 48, c = getchar()); 23 x = x * f; 24 } 25 26 namespace stepone { 27 int F[1010]; 28 inline void vinlince() { 29 F[1] = 1; F[2] = 1; 30 for(int i = 3; i <= n; ++i) 31 F[i] = (A * F[i - 1] + B * F[i - 2]) % 7; 32 printf("%d\n", F[n]); 33 return; 34 } 35 } 36 37 namespace steptwo { 38 int F[1010], pos; 39 inline void vinlince() { 40 if(A % 7 ==0) { 41 if(n >= 3) printf("0\n"); 42 else printf("1\n"); 43 return; 44 } 45 F[1] = 1; F[2] = 1; 46 for(int i = 3; i <= 1010; ++i) { 47 F[i] = (A * F[i - 1] + B * F[i - 2]) % 7; 48 if(F[i] == 1) { 49 pos = i; 50 break; 51 } 52 } 53 pos -= 2; --n; 54 n %= pos; 55 if(n == 0) n = pos; 56 printf("%d\n", F[n + 1]); 57 return; 58 } 59 } 60 61 namespace stepthree { 62 int F[1010], pos; 63 inline void hhh() { 64 F[1] = 1; F[2] = 1; 65 for(int i = 3; i <= 1010; ++i) { 66 F[i] = (A * F[i - 1] + B * F[i - 2]) % 7; 67 if(F[i] == 1 && F[i - 1] == 1) { 68 pos = i - 1; 69 break; 70 } 71 } 72 --pos; 73 n %= pos; 74 if(n == 0) n = pos; 75 printf("%d\n", F[n]); 76 return; 77 } 78 } 79 80 int main(int argc,char**argv) { 81 freopen("attack.in", "r", stdin); 82 freopen("attack.out", "w", stdout); 83 84 read(A), read(B), read(n); 85 if(n <= 1000) stepone::vinlince(); 86 else if(B % 7 == 0) steptwo::vinlince(); 87 else stepthree::hhh(); 88 89 return 0; 90 }規律
2.物理和生物老師的戰爭
(fseq.pas/c/cpp)
【問題描述】
物。萬物也。牛為大物。牛為物之大者。故物從牛。與半同意。天地之數起於牽
牛。戴先生原象曰。牽牛為紀首。命曰星紀。自周而上。日月之行不起於；牽牛也。按許說
物從牛之故。又廣其義如此。故從牛。勿聲。文弗切。十五部。
總之，物理老師和生物老師因為“物”而吵了起來，物理老師認為，物理是萬物之
源， 而生物老師認為生物才是萬物之源。 所以物理學科帶頭人和生物學科帶頭人號召了所有
物理、生物老師，進行戰鬥。
戰鬥開始前他們需要排隊，有 n 個物理老師和 m 個生物老師站在一起排成一列，
過安檢進入打鬥場。物理老師是一個神奇的物種，他們十分嚴謹，在開始之前就分析過：如
果在任意某一個人往前數（包括這個人） ，生物老師的數量超過了物理老師，根據牛頓三大
定律以及開普勒三大定律，這樣風水是不太好的。這時候，物理老師就會引爆核彈。為了構
建社會主義和諧社會，你決定避免這一場核戰的發生。所以，請你計算不會引發核彈爆炸的
排隊方案的概率。 （排隊方案不同定義為當且僅當某一位老師不一樣，註意不是老師所教的
科目不一樣。eg：物 A 物 B，物 B 物 A，是不同的方案）
【輸入】
第一行，Test , 表示測試數據的組數。
每個數據 有兩個數 N,M
【 輸出】
對於每組數據,輸出一個實數（保留到小數點後 6 位,）
【輸入輸出樣例 1】
fseq.in fseq.out 樣例說明：
3
1 0
0 1
1 1
1.000000
0.000000
0.500000
第一行：只有一個物理老師，一種方案且可行
第二行：只有一個生物老師，一種方案且不可行
第三行：兩種方案 ① 理、生 可行
② 生、理 不可行 可行概率為 0.5
【數據範圍】
30%的數據：(Test<=10),(0<=N,M<=1000).
100%的數據：(Test<=9008 )，( 0<=N,M<=20000 ).
思路：卡特蘭數應用 組合數學 進棧為題
大家 可以去 這裏看一下 講的聽好的
方案數 為 C(m!, (n+m)!) - C((m-1)!, (n+m)!)
可以化出 (m+n)!/m!*n! *(1-m/(n+1))
整個式子表示可行方案數 那後面的不就是可行的概率了麽。。
1 #include <map> 2 #include <cstdio> 3 #include <cctype> 4 #define min(x,y) ((x) < (y) ? (x) : (y)) 5 6 const int MAXN = 5010; 7 8 int T, n, m; 9 10 inline void read(int&x) { 11 int f = 1; register char c = getchar(); 12 for(x = 0; !isdigit(c); c == ‘-‘&&(f = -1), c=getchar()); 13 for(; isdigit(c); x = x * 10 + c - 48, c = getchar()); 14 x = x * f; 15 } 16 17 int main(int argc,char**argv) { 18 freopen("fseq.in", "r", stdin); 19 freopen("fseq.out", "w", stdout); 20 21 read(T); 22 while(T--) { 23 read(n);read(m); 24 if(n < m) printf("0.000000\n"); 25 else printf("%.6lf\n",1.0-(m*1.0/(n + 1.0))); 26 } 27 return 0; 28 }代碼
3.化學競賽的大獎
(prize.pas/c/cpp)
【問題描述】
XYX 在 CChO(全國化學奧林匹克競賽)比賽中獲得了大獎，獎品是一張特殊的機票。
使用這張機票，可以在任意一個國家內的任意城市之間的免費飛行，只有跨國飛行時才
會有額外的費用。XYX 獲得了一張地圖，地圖上有城市之間的飛機航班和費用。已知從
每個城市出發能到達所有城市，兩個城市之間可能有不止一個航班。一個國家內的每兩
個城市之間一定有不止一條飛行路線， 而兩個國家的城市之間只 有一條飛行路線。 XYX
想知道， 從每個城市出發到額外費用最大的城市， 以便估算出出行的費用， 請你幫助他。
當然，你不能通過乘坐多次一個航班增加額外費用， 也就是必須沿費用最少的路線飛
行。
【輸入】
第一行，兩個整數 N,M，表示地圖上有 N 個城市，M 條航線。
接下來 M 行，每行三個整數 a,b,c，表示城市 a,b 之間有一條費用為 c 的航線。
【 輸出】
共 N 行，第 i 行為從城市 i 出發到達每個城市額外費用的最大值。
【輸入輸出樣例 1】
score.in score.out 樣例說明：
6 6
1 4 2
1 2 6
2 5 3
2 3 7
6 3 4
3 1 8
4
4
4
6
7
7
有四個國家，包含的城市分別為 {1,2,3},{4},{5},{6}。
從城市 1 出發到達城市 6，乘坐(1,3)(3,6)兩個航班費用最大，
(1,3)在國內為免費航班，(3,6)的費用為 4，所以從 1 出發的最
大費用為 4。
【數據範圍】
對於 40%的數據 1<=N<=1000,1<=M<=1000
對於 100%的數據 1<=N<=20000,1<=M<=200000
思路 ：首先 Tarjan 縮點
建新圖 新圖一定為 樹
求一點能到達的點的路徑權值和最大
跑 三遍DFS 或 用樹形Dp即可
1 #include <vector> 2 #include <cstdio> 3 #include <cctype> 4 #include <cstring> 5 #define max(x,y) ((x) < (y) ? (y) : (x)) 6 #define min(x,y) ((x) < (y) ? (x) : (y)) 7 8 const int MAXN = 20010; 9 10 int n, m, inr, top, tot; 11 12 int dfn[MAXN], low[MAXN], stack[MAXN << 1], col[MAXN], x[200010], y[200010], z[200010]; 13 14 int q[MAXN<<2], dis[MAXN], _dis[MAXN]; 15 16 std::vector<int> Graph[MAXN]; 17 18 bool vis[MAXN]; 19 20 struct node { 21 int to, val; 22 node(){} 23 node(int to, int val):to(to), val(val){} 24 }; 25 26 std::vector<node> New[MAXN]; 27 28 inline void read(int&x) { 29 int f = 1; register char c = getchar(); 30 for(x = 0; !isdigit(c); c == ‘-‘&&(f = -1), c=getchar()); 31 for(; isdigit(c); x = x * 10 + c - 48, c = getchar()); 32 x = x * f; 33 } 34 35 namespace Tarjan { 36 37 void tarjan(int u, int fa) { 38 dfn[u] = low[u] = ++inr; 39 stack[++top] = u; 40 vis[u] = true; 41 for(int i = 0; i <Graph[u].size(); ++i) { 42 int v = Graph[u][i]; 43 if(v == fa) continue; 44 if(!dfn[v]) { 45 tarjan(v, u); 46 low[u] = min(low[u], low[v]); 47 } 48 else if(vis[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]); 49 } 50 51 if(dfn[u] == low[u]) { 52 ++tot; 53 int t; 54 do { 55 t = stack[top--]; 56 vis[t] = false; 57 col[t] = tot; 58 }while(u != t); 59 } 60 return; 61 } 62 63 void Pre() { 64 for(int i = 1; i <= m; ++i) { 65 read(x[i]); read(y[i]); read(z[i]); 66 Graph[x[i]].push_back(y[i]); 67 Graph[y[i]].push_back(x[i]); 68 } 69 70 for(int i = 1; i <= n; ++i) 71 if(!dfn[i]) tarjan(i, -1); 72 return; 73 } 74 } 75 76 namespace _next { 77 int Max, root; 78 79 void DFS(int u,int fa) { 80 for(int i = 0; i < New[u].size(); ++i) { 81 int v = New[u][i].to; 82 if(v == fa) continue; 83 dis[v] = dis[u] + New[u][i].val; 84 if(dis[v] > Max) Max = dis[v], root = v; 85 DFS(v, u); 86 } 87 return; 88 } 89 90 void _DFS(int u,int fa) { 91 for(int i = 0; i < New[u].size(); ++i) { 92 int v = New[u][i].to; 93 if(v == fa) continue; 94 _dis[v] = _dis[u] + New[u][i].val; 95 _DFS(v, u); 96 } 97 return; 98 } 99 100 void hhh() { 101 102 for(int i = 1; i <= m; ++i) { 103 if(col[x[i]] != col[y[i]]) { 104 New[col[x[i]]].push_back(node(col[y[i]], z[i])); 105 New[col[y[i]]].push_back(node(col[x[i]], z[i])); 106 } 107 } 108 109 DFS(1,-1); 110 Max = 0; 111 memset(dis, 0, sizeof dis); 112 DFS(root, -1); 113 _DFS(root, -1); 114 115 for(int i = 1; i <= n; ++i) 116 printf("%d\n", max(dis[col[i]], _dis[col[i]])); 117 return; 118 } 119 } 120 121 int main(int argc,char**argv) { 122 freopen("prize.in", "r", stdin); 123 freopen("prize.out", "w", stdout); 124 125 read(n), read(m); 126 Tarjan::Pre(); 127 _next::hhh(); 128 129 return 0; 130 }代碼
2017 11.6 NOIP模擬賽