題目鏈接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507

題目大意：概題意就是要輸出N個數字a[N]，輸出的時候可以連續連續的輸出，每連續輸出一串，它的費用是 “這串數字和的平方加上一個常數M”。（N<=500000，M<=1000）

解題思路：參考了這裏的思路，這算是我寫得第一題斜率優化DP了，當做模板來用吧。推理下次補上。

我們設dp[i]表示輸出到i的時候最少的花費，sum[i]表示從a[1]到a[i]的數字和。於是狀態轉移方程就是：

dp[i]=min(dp[i]，dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2）（0<=j<i）

但是題目給出的N為最大500000，這個O（n^2）的算法顯然會超時，於是可以用斜率優化，利用隊列維護單調性進行優化，將復雜度降至O（n）。

代碼：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6 const int N=5e5+5;
 7 
 8 int n,m,head,tail;
 9 int dp[N],sum[N],q[N];//q為需要維護的隊列 
 
10 
11 // dp[i]= min{ dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2 }
12 int getDP(int i,int j){
13     return dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
14 }
15 
16 //yj-yk
17 int getUP(int j,int k){ 
18     return dp[j]+sum[j]*sum[j]-(dp[k]+sum[k]*sum[k]);
19 }
20 
21 //xj-xk
22 int getDOWN(int j,int k){
23     return
 
 2*(sum[j]-sum[k]);
24 }
25 
26 int main(){
27     while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
28         dp[0]=sum[0]=0;
29         for(int i=1;i<=n;i++){
30             scanf("%d",&sum[i]);
31             sum[i]+=sum[i-1];
32         }
33         head=tail=0;
34         q[tail++]=0;
35         for(int i=1;i<=n;i++){
36             //隊列元素有兩個以上時,維護g(k,j)=(yj-yk/xj-xk)<sum[i]，註意分母為0不能直接比較斜率 
37             while(head+1<tail&&!(getUP(q[head],q[head+1])<sum[i]*getDOWN(q[head],q[head+1]))){
38                 head++;//相當於淘汰q[head]也就是k
39             }
40             dp[i]=getDP(i,q[head]);
41             //隊列元素有兩個以上時,維護g(k,j)<g(j,i)
42             while(head+1<tail&&!(getUP(q[tail-1],i)*getDOWN(q[tail-2],q[tail-1])>getUP(q[tail-2],q[tail-1])*getDOWN(q[tail-1],i))){
43                 tail--;
44             }
45             q[tail++]=i;
46         }
47         printf("%d\n",dp[n]);
48     }
49     return 0;
50 }

HDU 3507 Print Article（斜率優化DP）