n,m<=200，n*m的方陣，有ULRD表示在這個格子時下一步要走到哪裏，有一些待決策的格子用.表示，可以填ULRD任意一個，問有多少種填法使得從每個格子出發都能走出這個方陣，答案取模。保證未確定的格子<=300。

。。。一臉懵逼地寫了原本30實際20的暴力然後跪著啃了下論文

然而什麽都沒啃懂不如結論記下來：

首先矩陣行列式的定義：一個n*n的矩陣，行列式值為$\sum_{b是n的一個排列} \ \ \ \ \ ( (-1)^{b的逆序對數} \ \ \ \ \ * \prod_{i=1}^{n} A_{i,b_i})$

矩陣A行列式的性質：

|A|=|A的轉置|

|AB|=|A||B|

|A|+|B|=|A和B的某一行加起來其他不變的矩陣|

交換兩行得B，|B|=-|A|，因為每次計算一個排列時逆序對數都相差1。

A的某行乘個x得B，|B|=x|A|。

A的某行乘某個數加到另一行上得B，|B|=|A|。由第三條可得。

每行每列和為0的矩陣行列式為0。

由四五六條可用高斯消元計算行列式。

基爾霍夫矩陣：

無向圖：矩陣對角線上是度數，其他如果對應邊存在就是-1，不然就是0。

有向圖：矩陣對角線上是入度，其他如果對應邊存在就是-1，不然就是0。

矩陣樹定理：一個無向圖的基爾霍夫矩陣的任意一個n-1階的子矩陣，即刪掉了第i行和第i列，的行列式是這個圖的生成樹個數。

一個有向圖以點i為根的生成樹個數是基爾霍夫矩陣去掉第i行和第i列剩下的矩陣的行列式。

嗯然後就是這道題。

首先，如果在外界虛擬一個節點，把所有指出去的格子都指向它，把所有確定格子向指向的點連邊，可得一個有向圖。

然後，待確定的點向四個方向都連邊，求這個圖以外界點為根的反向的樹形圖即可。為什麽呢，首先確定的格子的邊一定會選到，因為每個格子只有一條出邊，不然他就和其他點斷掉了；其次那些待確定的格子為了形成樹，只會在四個方向裏選一個。

嗯這樣只能拿50分。

可以發現那些已經確定的點是多余的，可以縮掉。也就是給所有待確定格子編號，外界點編號0，然後預處理他往上下左右走能遇到的第一個有編號的格子，朝他們連邊即可。

然後就大功告成了。

  1 #include<stdio.h>
  2
 
 #include<string.h>
  3 #include<algorithm>
  4 #include<stdlib.h>
  5 //#include<queue>
  6 #include<math.h>
  7 //#include<time.h>
  8 //#include<iostream>
  9 using namespace std;
 10 
 11 int n,m,K,T;
 12 const int mod=1e9+7;
 13 #define maxn 311
 14 int pos[maxn][maxn],who[maxn][maxn],place[maxn][4]; char mp[maxn][maxn];
 15 
 16 int powmod(int a,int b)
 17 {
 18     int ans=1;
 19     while (b)
 20     {
 21         if (b&1) ans=1ll*ans*a%mod;
 22         a=1ll*a*a%mod;
 23         b>>=1;
 24     }
 25     return ans;
 26 }
 27 
 28 struct Mat
 29 {
 30     int num[maxn][maxn];
 31     void clear() {memset(num,0,sizeof(num));}
 32 }mat;
 33 int gauss()
 34 {
 35     int ans=1;
 36     for (int i=1;i<=K;i++)
 37     {
 38         int id=i;
 39         for (int j=i+1;j<=K;j++) if (fabs(mat.num[j][i])>fabs(mat.num[id][i])) id=j;
 40         if (id!=i)
 41         {
 42             ans=1ll*ans*(mod-1)%mod;
 43             for (int j=i;j<=K;j++) {int t=mat.num[i][j]; mat.num[i][j]=mat.num[id][j]; mat.num[id][j]=t;}
 44         }
 45         int tmp=powmod(mat.num[i][i],mod-2);
 46         for (int j=i+1;j<=K;j++)
 47             for (int k=K;k>=i;k--)
 48                 mat.num[j][k]-=mat.num[i][k]*1ll*mat.num[j][i]%mod*tmp%mod,
 49                 mat.num[j][k]+=mat.num[j][k]<0?mod:0;
 50     }
 51     for (int i=1;i<=K;i++) ans=1ll*ans*mat.num[i][i]%mod;
 52     return ans;
 53 }
 54 
 55 int vis[maxn][maxn],Time; bool die;
 56 void dfs(int x,int y)
 57 {
 58     if (mp[x][y]==‘.‘) return;
 59     if (vis[x][y])
 60     {
 61         if (pos[x][y]==-1) die=1;
 62         return;
 63     }
 64     vis[x][y]=1;
 65     int tx=x,ty=y;
 66     if (mp[x][y]==‘U‘) x--;
 67     else if (mp[x][y]==‘D‘) x++;
 68     else if (mp[x][y]==‘L‘) y--;
 69     else if (mp[x][y]==‘R‘) y++;
 70     if (x<1 || x>n || y<1 || y>m) pos[tx][ty]=0;
 71     else pos[tx][ty]=-1,dfs(x,y),pos[tx][ty]=pos[x][y];
 72 }
 73 int check(int x,int y)
 74 {
 75     if (x<1 || x>n || y<1 || y>m) return 0;
 76     return pos[x][y];
 77 }
 78 
 79 int main()
 80 {
 81     scanf("%d",&T);
 82 while (T--)
 83 {
 84     scanf("%d%d",&n,&m); K=0; Time=0; die=0;
 85     memset(vis,0,sizeof(vis));
 86     memset(pos,0,sizeof(pos));
 87     for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",mp[i]+1);
 88     for (int i=1;i<=n;i++)
 89         for (int j=1;j<=m;j++)
 90             if (mp[i][j]==‘.‘) pos[i][j]=++K;
 91     for (int i=1;i<=n;i++)
 92         for (int j=1;j<=m;j++)
 93             if (mp[i][j]!=‘.‘) dfs(i,j);
 94     if (die) {puts("0"); continue;}
 95     
 96     for (int i=1;i<=n;i++)
 97         for (int j=1;j<=m;j++)
 98             if (mp[i][j]==‘.‘)
 99             {
100                 int nx=i,ny=j,now=pos[i][j];
101                 nx++; place[now][0]=check(nx,ny); nx--;
102                 nx--; place[now][1]=check(nx,ny); nx++;
103                 ny++; place[now][2]=check(nx,ny); ny--;
104                 ny--; place[now][3]=check(nx,ny); ny++;
105             }
106     mat.clear();
107     for (int i=1;i<=K;i++)
108     {
109         for (int j=0;j<4;j++) mat.num[place[i][j]][i]--;
110         mat.num[i][i]+=4;
111     }
112     for (int i=1;i<=K;i++)
113         for (int j=1;j<=K;j++)
114             if (mat.num[i][j]<0) mat.num[i][j]+=mod;
115     printf("%d\n",gauss());
116 }
117     return 0;
118 }

走進矩陣樹定理--「CodePlus 2017 12 月賽」白金元首與獨舞