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作者： dreamcatcher-cx

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預備知識

堆排序

　　堆排序是利用堆這種數據結構而設計的一種排序算法，堆排序是一種選擇排序，它的最壞，最好，平均時間復雜度均為O(nlogn)，它也是不穩定排序。首先簡單了解下堆結構。

堆

　　堆是具有以下性質的完全二叉樹：每個結點的值都大於或等於其左右孩子結點的值，稱為大頂堆；或者每個結點的值都小於或等於其左右孩子結點的值，稱為小頂堆。如下圖：

同時，我們對堆中的結點按層進行編號，將這種邏輯結構映射到數組中就是下面這個樣子

該數組從邏輯上講就是一個堆結構，我們用簡單的公式來描述一下堆的定義就是：

大頂堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

小頂堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

ok，了解了這些定義。接下來，我們來看看堆排序的基本思想及基本步驟：

堆排序基本思想及步驟

　　堆排序的基本思想是：將待排序序列構造成一個大頂堆，此時，整個序列的最大值就是堆頂的根節點。將其與末尾元素進行交換，此時末尾就為最大值。然後將剩余n-1個元素重新構造成一個堆，這樣會得到n個元素的次小值。如此反復執行，便能得到一個有序序列了

步驟一 構造初始堆。將給定無序序列構造成一個大頂堆（一般升序采用大頂堆，降序采用小頂堆)。

　　a.假設給定無序序列結構如下

2.此時我們從最後一個非葉子結點開始（葉結點自然不用調整，第一個非葉子結點 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6結點），從左至右，從下至上進行調整。

4.找到第二個非葉節點4，由於[4,9,8]中9元素最大，4和9交換。

這時，交換導致了子根[4,5,6]結構混亂，繼續調整，[4,5,6]中6最大，交換4和6。

此時，我們就將一個無需序列構造成了一個大頂堆。

步驟二 將堆頂元素與末尾元素進行交換，使末尾元素最大。然後繼續調整堆，再將堆頂元素與末尾元素交換，得到第二大元素。如此反復進行交換、重建、交換。

a.將堆頂元素9和末尾元素4進行交換

b.重新調整結構，使其繼續滿足堆定義

c.再將堆頂元素8與末尾元素5進行交換，得到第二大元素8.

後續過程，繼續進行調整，交換，如此反復進行，最終使得整個序列有序

再簡單總結下堆排序的基本思路：

　　a.將無需序列構建成一個堆，根據升序降序需求選擇大頂堆或小頂堆;

　　b.將堆頂元素與末尾元素交換，將最大元素"沈"到數組末端;

　　c.重新調整結構，使其滿足堆定義，然後繼續交換堆頂元素與當前末尾元素，反復執行調整+交換步驟，直到整個序列有序。

代碼實現:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;

namespace _011_堆排序
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int[] data = { 4,6,8,5,9};
            HeapSort(data);
            foreach (var item in data)
            {
                Console.Write(item+" ");
            }
        }

        public static void HeapSort(int[] data)
        {
            //遍歷這個數的所有非葉節點，挨個把所有的子樹，變成子大頂堆
            for (int i = data.Length/2; i>0; i--)
            {
                //從第一個非葉子結點從下至上，從右至左調整結構
                HeapAjust(i, data, data.Length);
            }

            //2.調整堆結構+交換堆頂元素與末尾元素
            for (int i = data.Length-1; i >0; i--)
            {
                //把編號0和編號i位置進行交換
                Swap(data, 0, i);
                ////重新對堆進行調整
                HeapAjust(1,data,i);
            }
        }

        /// <summary>
        /// 調整大頂堆 建立在大頂堆已構建的基礎
        /// </summary>
        /// <param name="numberTojust"></param>
        /// <param name="data"></param>
        /// <param name="maxNumber"></param>
        public static void HeapAjust(int numberTojust,int[] data,int maxNumber)
        {
            int MaxNodeNumber = numberTojust;//最大結點的編號
            int tempI = numberTojust;
            while (true)
            {
                //把i節點的子樹變成大頂堆
                int leftChildNumber = tempI * 2;
                int rightChildNumber = leftChildNumber + 1;

                if (leftChildNumber <= maxNumber && data[leftChildNumber - 1] > data[MaxNodeNumber - 1])
                    MaxNodeNumber = leftChildNumber;

                if (rightChildNumber <= maxNumber && data[rightChildNumber - 1] > data[MaxNodeNumber - 1])
                    MaxNodeNumber = rightChildNumber;

                if (MaxNodeNumber != tempI) //發現了一個比i更大的子節點  交換i和MaxNodeNumber裏面的數據
                {
                    Swap(data,tempI-1,MaxNodeNumber-1);
                    tempI = MaxNodeNumber;
                }
                else
                {
                    break;
                }
            }
        }

        public static void Swap(int[] arr,int a,int b)
        {
            int temp = arr[a];
            arr[a] = arr[b];
            arr[b] = temp;
        }
    }
}

最後

　　堆排序是一種選擇排序，整體主要由構建初始堆+交換堆頂元素和末尾元素並重建堆兩部分組成。其中構建初始堆經推導復雜度為O(n)，在交換並重建堆的過程中，需交換n-1次，而重建堆的過程中，根據完全二叉樹的性質，[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步遞減，近似為nlogn。所以堆排序時間復雜度一般認為就是O(nlogn)級。

排序算法-堆排序