github：代碼實現
本文算法均使用python3實現

1. 什麽是堆

??堆（heap)是計算機科學中一類特殊的數據結構的統稱。堆通常是一個可以被看做一棵樹的數組對象，且堆總是一棵完全二叉樹。由於堆是基於完全二叉樹的結構，因此可以使用順序存儲結構即數組來保存堆，再根據堆的性質，我們可以得到該數組（從0下標開始）的一些性質：
??（1）對於數組 $ heap $ 中的第 $ i $ 個節點，其左孩子節點值 $ heap[2i+1] \leq heap[i] $ 且其右孩子節點值 $ heap[2i+2] \leq heap[i] $ ，此時為大根堆。（父親值大於等於孩子值）
??（2）對於數組 $ heap $ 中的第 $ i $ 個節點，其左孩子節點值 $ heap[2i+1] \geq heap[i] $ 且其由孩子節點值 $ heap[2i+2] \geq heap[i] $ ，此時為小根堆

??對於大根堆，將其映射到數組中如下：

2. 如何構建初始堆

??堆的構建是一個遞歸的過程。下面以大根堆為例進行講解。具體操作如下：
??構建初始大根堆：從最後一個非葉子節點開始，比較其與其左右孩子值的大小，若其節點值比孩子節點值小，則將其與較大孩子進行交換。然後依次對其它節點進行如此比較與交換，直至根節點，此時根節點的值即為該堆中的最大值。

3. 如何進行堆排序

??堆排序是在已經構建好的初始大根堆上進行。主要分為以下幾步：
??（1）對初始序列構建初始大根堆。（按照2中所描述）
??（2）將大根堆的根節點值與最後一個節點值交換。

??（3）將交換後的堆從數組

??（4）將無序區中的根節點值與無序區中的最後一個節點值進行交換。此時無序區長度減 $ 1 $ ，有序區長度加 $ 1 $ ，見下圖。重復（3）直到無序區中只有一個節點為止。

4. 實現代碼

class HeapSort:
    '''堆排類'''
    def Max_Heapify(self, heap, heapsize, root):
        '''堆調整，使得根節點值大於子節點值'''
 

        left = root * 2 + 1  # 列表從0開始，左節點下標為 2i+1,右節點下標為 2i+2
        right = left + 1
        larger = root
        if left < heapsize and heap[left] > heap[larger]:
            larger = left
        if right < heapsize and heap[right] > heap[larger]:
            larger = right
        if larger != root:
            heap[larger], heap[root] = heap[root], heap[larger]
            self.Max_Heapify(heap, heapsize, larger)
        else: return 

    def Build_Max_Heap(self, heap):
        '''構建初始大根堆'''
        heapsize = len(heap)
        for i in range((heapsize-2)//2, -1, -1):
            # 從最後一個非葉子節點開始構建
            self.Max_Heapify(heap, heapsize, i)

    def Heap_Sort(self, heap):
        '''堆排序'''
        # 步驟（1）構建初始大根堆
        self.Build_Max_Heap(heap)
        for i in range(len(heap)-1, -1, -1):
            # 步驟（2）交換無序區第一個節點值與最後一個節點值
            heap[0], heap[i] = heap[i], heap[0]
            # 步驟（3）對無序區進行“堆調整”
            self.Max_Heapify(heap, i, 0)
        return heap[::-1]

5. 算法分析

??堆排序是一種選擇排序，且是不穩定排序，整體主要由構建初始堆+交換堆頂元素和末尾元素並重建堆兩部分組成。其中構建初始堆的時間復雜度為 $ O(n) $ ，在交換並重建堆的過程中，需進行 $ n-1 $ 次”堆調整”，而重建堆的過程中，根據完全二叉樹的性質，$ [\log_2(n-1),\log_2(n-2)...1] $ 逐步遞減，近似為 $ O(n \log_2 n) $ 。所以堆排序時間復雜度為是 $ O(n \log_2 n) + O(n) = O(n \log_2 n) $ 。即堆排序的最壞時間復雜度為 $ O(n \log_2 n) $ （平均復雜度接近於最壞情況）。

引用及參考：
[1]《數據結構》李春葆著
[2] https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html
[3] https://blog.csdn.net/minxihou/article/details/51850001

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排序算法---堆排序