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弗洛伊德算法介紹

和Dijkstra算法一樣，弗洛伊德(Floyd)算法也是一種用於尋找給定的加權圖中頂點間最短路徑的算法。該算法名稱以創始人之一、1978年圖靈獎獲得者、斯坦福大學計算機科學系教授羅伯特·弗洛伊德命名。

基本思想

通過Floyd計算圖G=(V,E)中各個頂點的最短路徑時，需要引入一個矩陣S，矩陣S中的元素a[i][j]表示頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。

假設圖G中頂點個數為N，則需要對矩陣S進行N次更新。初始時，矩陣S中頂點a[i][j]的距離為頂點i到頂點j的權值；如果i和j不相鄰，則a[i][j]=∞。 接下來開始，對矩陣S進行N次更新。第1次更新時，如果"a[i][j]的距離" > "a[i][0]+a[0][j]"(a[i][0]+a[0][j]表示"i與j之間經過第1個頂點的距離")，則更新a[i][j]為"a[i][0]+a[0][j]"。 同理，第k次更新時，如果"a[i][j]的距離" > "a[i][k]+a[k][j]"，則更新a[i][j]為"a[i][k]+a[k][j]"。更新N次之後，操作完成！

單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面通過實例來對該算法進行說明。

弗洛伊德算法圖解

以上圖G4為例，來對弗洛伊德進行算法演示。

初始狀態：S是記錄各個頂點間最短路徑的矩陣。
第1步：初始化S。
矩陣S中頂點a[i][j]的距離為頂點i到頂點j的權值；如果i和j不相鄰，則a[i][j]=∞。實際上，就是將圖的原始矩陣復制到S中。
註:a[i][j]表示矩陣S中頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。

第2步：以頂點A(第1個頂點)為中介點，若a[i][j] > a[i][0]+a[0][j]，則設置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
以頂點a[1]6，上一步操作之後，a[1][6]=∞；而將A作為中介點時，(B,A)=12，(A,G)=14，因此B和G之間的距離可以更新為26。

同理，依次將頂點B,C,D,E,F,G作為中介點，並更新a[i][j]的大小。

弗洛伊德算法的代碼說明

以"鄰接矩陣"為例對弗洛伊德算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在後面會給出相應的源碼。

1. 基本定義

1 // 鄰接矩陣
2 typedef struct _graph
3 {
4     char vexs[MAX];       // 頂點集合
5     int vexnum;           // 頂點數
6     int edgnum;           // 邊數
7     int matrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣
8 }Graph, *PGraph;

Graph是鄰接矩陣對應的結構體。
vexs用於保存頂點，vexnum是頂點數，edgnum是邊數；matrix則是用於保存矩陣信息的二維數組。例如，matrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即vexs[i])"和"頂點j(即vexs[j])"是鄰接點；matrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。

2. 弗洛伊德算法

 1 /*
 2  * floyd最短路徑。
 3  * 即，統計圖中各個頂點間的最短路徑。
 4  *
 5  * 參數說明：
 6  *        G -- 圖
 7  *     path -- 路徑。path[i][j]=k表示，"頂點i"到"頂點j"的最短路徑會經過頂點k。
 8  *     dist -- 長度數組。即，dist[i][j]=sum表示，"頂點i"到"頂點j"的最短路徑的長度是sum。
 9  */
10 void floyd(Graph G, int path[][MAX], int dist[][MAX])
11 {
12     int i,j,k;
13     int tmp;
14 
15     // 初始化
16     for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
17     {
18         for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
19         {
20             dist[i][j] = G.matrix[i][j];    // "頂點i"到"頂點j"的路徑長度為"i到j的權值"。
21             path[i][j] = j;                 // "頂點i"到"頂點j"的最短路徑是經過頂點j。
22         }
23     }
24 
25     // 計算最短路徑
26     for (k = 0; k < G.vexnum; k++)
27     {
28         for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
29         {
30             for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
31             {
32                 // 如果經過下標為k頂點路徑比原兩點間路徑更短，則更新dist[i][j]和path[i][j]
33                 tmp = (dist[i][k]==INF || dist[k][j]==INF) ? INF : (dist[i][k] + dist[k][j]);
34                 if (dist[i][j] > tmp)
35                 {
36                     // "i到j最短路徑"對應的值設，為更小的一個(即經過k)
37                     dist[i][j] = tmp;
38                     // "i到j最短路徑"對應的路徑，經過k
39                     path[i][j] = path[i][k];
40                 }
41             }
42         }
43     }
44 
45     // 打印floyd最短路徑的結果
46     printf("floyd: \n");
47     for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
48     {
49         for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
50             printf("%2d  ", dist[i][j]);
51         printf("\n");
52     }
53 }

完整代碼可以見：http://www.wutianqi.com/?p=1903

弗洛伊德算法（Floyd算法）