相關概念

對於一個圖G=(V, E)，求圖中兩點u， v間最短路徑長度，稱為圖的最短路徑問題。最短路徑中最長的稱為圖的直徑。

其中，求圖中確定的某兩點的最短路徑算法，稱為單源最短路徑算法。求圖中任意兩點間的最短路徑算法，稱為多源最短路徑算法。

常用的路徑算法有：

• Dijkstra算法
• SPFA算法\Bellman-Ford算法
• Floyd算法\Floyd-Warshall算法
• Johnson算法

其中最經典的是Dijkstra算法和Floyd算法。Floyd算法是多源最短路徑算法，可以直接求出圖中任意兩點間的距離，因此只要取其中最大的就可以得到圖的直徑。

Floyd算法

算法思想

假設Dis(i,j)為節點u到節點v的最短路徑的距離(最短路徑長度)，對於每一個節點k，檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，說明從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短，便記錄Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)。因此，當遍歷完所有節點k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j的最短路徑的距離。

算法特點

• 使用了動態規劃思想
• 可以計算無向圖或有向圖
• 核心代碼簡短(五行)
• 可以一次性計算出任意兩點間的距離
• 算法復雜度O(n^3)，是一個好算法

一個關鍵性問題

在判斷Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)這個公式時，如果經過k的距離更短就選擇k，但是這能否保證此時Dis(i,k)和Dis(k,j)已經取得了最小值呢？

答案是肯定的，可以用數學歸納法證明，參考這篇博客

示例

待求直徑的圖G

程序輸入

2（表示無向圖）

8 9 （表示8個頂點，9條邊）

1 2 5 （表示頂點1和頂點2之間的距離權重是5）

... ...

程序輸出

（鄰接矩陣，矩陣元素M[i][j]表示頂點Vi與Vj間的距離）

（各個頂點間的最短路徑以及路徑長度，對於此例，頂點V4與V6或V8間的距離都是10，是距離最遠的兩個頂點對）

（此圖的直徑）

Python源代碼

# ----------------------------------------------
# Project： calculate diameter of graph
# Using floyd algorithm
# ----------------------------------------------


# define function: print shortest path
def getPath(i, j):
    if
 
 i != j:
        if path[i][j] == -1:
            print(‘-‘, j+1, end=‘‘)
        else:
            getPath(i, path[i][j])
            getPath(path[i][j], j)


def printPath(i, j):
    print(‘ Path:‘, i+1, end=‘‘)
    getPath(i, j)
    print()


print(‘---------------- Program start ----------------‘)
# read data
flag = input(‘please input type of graph(1:directed ‘
             ‘graph; 2:undirected graph): ‘)
vertex, edge = input(‘please input the number of ‘
                     ‘vertex and edge: ‘).strip().split()

# initialized
flag = int(flag)
vertex = int(vertex)
edge = int(edge)
inf = 99999999
dis = []  # matrix of the shortest distance
path = []  # record the shortest path
for i in range(vertex):
    dis += [[]]
    for j in range(vertex):
        if i == j:
            dis[i].append(0)
        else:
            dis[i].append(inf)
for i in range(vertex):
    path += [[]]
    for j in range(vertex):
        path[i].append(-1)


# read weight information
print(‘please input weight info(v1 v2 w[v1,v2]): ‘)
for i in range(edge):
    u, v, w = input().strip().split()
    u, v, w = int(u)-1, int(v)-1, int(w)
    if flag == 1:
        dis[u][v] = w
    elif flag == 2:
        dis[u][v] = w
        dis[v][u] = w
print(‘the weight matrix is:‘)
for i in range(vertex):
    for j in range(vertex):
        if dis[i][j] != inf:
            print(‘%5d‘ % dis[i][j], end=‘‘)
        else:
            print(‘%5s‘ % ‘∞‘, end=‘‘)
    print()


# floyd algorithm
for k in range(vertex):
    for i in range(vertex):
        for j in range(vertex):
            if dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]:
                dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]
                path[i][j] = k
print(‘===========================================‘)


# output the result
print(‘output the result:‘)
if flag == 1:
    for i in range(vertex):
        for j in range(vertex):
            if (i != j) and (dis[i][j] != inf):
                print(‘v%d ----> v%d  tol_weight:‘
                      ‘%3d‘ % (i+1, j+1, dis[i][j]))
                printPath(i, j)
            if (i != j) and (dis[i][j] == inf):
                print(‘v%d ----> v%d  tol_weight:‘
                      ‘  ∞‘ % (i+1, j+1))
                printPath(i, j)

if flag == 2:
    for i in range(vertex):
        for j in range(i+1, vertex):
            print(‘v%d <----> v%d  tol_weight:‘
                  ‘%3d‘ % (i+1, j+1, dis[i][j]), ‘‘, end=‘‘)
            printPath(i, j)
print()
for i in range(vertex):
    for j in range(vertex):
        if dis[i][j] == inf:
            dis[i][j] = 0
# max(max(dis)): the max item of two dimension matrix
print(‘>> the diameter of graph: %d <<‘ % max(max(dis)))
print(‘-------------- Program end ----------------‘)

Reference

最短路徑_百度百科
最短路徑—Dijkstra算法和Floyd算法
最短路徑問題---Floyd算法詳解 - CSDN博客
Floyd算法(記錄路徑) - CSDN博客

[Python] 弗洛伊德(Floyd)算法求圖的直徑並記錄路徑