urn content new targe 接下來 bsp hide 斐波那契 href

Fibonacci

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

Problem Description 2007年到來了。經過2006年一年的修煉，數學神童zouyu終於把0到100000000的Fibonacci數列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部給背了下來。
接下來，CodeStar決定要考考他，於是每問他一個數字，他就要把答案說出來，不過有的數字太長了。所以規定超過4位的只要說出前4位就可以了，可是CodeStar自己又記不住。於是他決定編寫一個程序來測驗zouyu說的是否正確。 Input 輸入若幹數字n(0 <= n <= 100000000)，每個數字一行。讀到文件尾。 Output 輸出f[n]的前4個數字（若不足4個數字，就全部輸出）。 Sample Input 0 1 2 3 4 5 35 36 37 38 39 40 Sample Output 0 1 1 2 3 5 9227 1493 2415 3908 6324 1023 【分析】：

這是道神奇的題，求斐波那契數列的0到第100000000項的前四位，之前做過斐波那契數列的水題，求到63項

能用__int64解決，但是到100000000項的話用數組都會超時。

以下是大牛的解釋：

先看對數的性質,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);
假設給出一個數10234432,那麽log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小數部分.

log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198
那麽要取幾位就很明顯了吧~
先取對數(對10取),然後得到結果的小數部分bit,pow(10.0,bit)以後如果答案還是<1000那麽就一直乘10。
註意先處理了0~20項是為了方便。

這題要利用到數列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....) log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)

其中f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
因為log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)趨近於0
所以可以寫成log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);

最後取其小數部分。

而我們要取Fibonacci數的前4位，可以通過計算以10為底的對數，原理與HDU 1060 Leftmost Digit是一樣的，不妨可以點開看看

另外，需要提及的一點是前20項Fibonacci數需要自己計算，一方面是因為Fibonacci數未滿4位，更重要的一點是Fibonacci數較小時，公式的精確度不高

比如第17項Fibonacci應該是1597，但公式求得的是1596；而19項Fibonacci應該是4181，但公式求得的是4180

因此，我們需要先自己計算出Fibonacci數的前19項。

【代碼】：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 20;  
const int inf = 2147483647;  
const int mod = 2009;  
int f[N];  
int main()  
{  
    int n,i;  
    double s;  
    f[0]=0,f[1]=1;  
    for(i=2;i<N;i++)//由於接下來利用公式得出來的Fibonacci數不是精確的，越小的數則越不精確，所以前面一些Fibonacci數需要自己算  
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];  
    while(~scanf("%d",&n))  
    {  
        if(n<N)  
        {  
            printf("%d\n",f[n]);  
            continue;  
        }  
        s=log10(1.0/sqrt(5.0))+n*log10((1+sqrt(5.0))/2);  //調用公式 
        s=s-(int)s;  //取小數部分
        s=pow(10,s);  
        while(s<1000)  //要求四位，所以要將小數點右邊的數移到左邊直到符合要求 
            s*=10;  
        printf("%d\n",(int)s);  
    }  
    return 0;  
}  

數學、公式

HDU 1568 Fibonacci【求斐波那契數的前4位/遞推式】