【CF802L】Send the Fool Further! (hard)

題意：給你一棵n個節點的樹，每條邊有長度，從1號點開始，每次隨機選擇一個相鄰的點走，走到一個葉子時就停止，問期望走的總路程。

$n\le 10^5$

題解：很自然想到遊走那題，於是想到高斯消元，但是正常高斯消元是$O(n^3)$的。不過我們有一個套路：在樹上進行高斯消元的復雜度是$O(n)$的。

先列出方程：設f(x)表示從x開始期望還要走的路程，x的度數是d，那麽$f(x)=\frac {f(fa)+len} d+\frac {\sum f(ch)+len} d$。而在葉子處，方程是形如$f(x)=k\cdot f(fa)+b$的，將其代入父親的方程，便可以使父親的方程也變成$f(x)=k\cdot f(fa)+b$的形式，這樣一路消上去，就得到了根節點的答案了。

如果想知道所有點的答案的話，再一路消下來就好了。想不到這個套路在pkuwc上用到了233。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100010;
const ll P=1000000007;
int n,cnt;
int fa[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],head[maxn],q[maxn],d[maxn];
ll k[maxn],b[maxn],f[maxn];
inline ll pm(ll x,ll y)
{
	ll z=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)	z=z*x%P;
		x=x*x%P,y>>=1;
	}
	return z;
}
inline void add(int a,int b)
{
	to[cnt]=b,nxt[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;
}
void dfs(int x)
{
	q[++q[0]]=x;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=nxt[i])	if(to[i]!=fa[x])	fa[to[i]]=x,dfs(to[i]);
}
inline int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<‘0‘||gc>‘9‘)	{if(gc==‘-‘)	f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘)	ret=ret*10+(gc^‘0‘),gc=getchar();
	return ret*f;
}
int main()
{
	n=rd();
	int i,x,y,z;
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for(i=1;i<n;i++)	x=rd()+1,y=rd()+1,z=rd(),add(x,y),add(y,x),k[x]++,k[y]++,d[x]++,d[y]++,b[x]+=z,b[y]+=z;
	dfs(1);
	for(i=n;i>=2;i--)	if(d[q[i]]!=1)
	{
		x=q[i];
		ll tmp=pm(k[x],P-2);
		k[fa[x]]=(k[fa[x]]-tmp)%P;
		b[fa[x]]=(b[fa[x]]+b[x]*tmp)%P;
	}
	f[1]=b[1]*pm(k[1],P-2)%P;
	printf("%lld",(f[1]+P)%P);
	return 0;
}

【CF802L】Send the Fool Further! (hard) 高斯消元