點此看題面

大致題意：一個無向連通圖，小Z$Z$從1$1$號頂點出發，每次隨機選擇某條邊走到下一個頂點，並將ans$ans$加上這條邊的編號，走到N$N$號頂點時結束。請你對邊進行編號，使總分期望值最小。

一個貪心的思想

由於貪心的思想，我們肯定是給期望訪問次數最大的邊編號為1$1$，第二大的編號為2$2$，第三大的編號為3$3$，以此類推。

那麼我們應該怎麼求出邊的期望呢？

由於邊的期望可以由點的期望轉化得來，因此只要求出了點的期望，就能求出邊的期望。

那麼怎麼求出點的期望呢？

這時就需要用高斯消元了。

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如何求出點的期望

下面是一張無向圖。

如果我們用

即編號為x$x$的點的期望Sx=∑Sidegi$S_x=\sum \frac{S_i}{de{g}_i}$，其中i$i$為與x$x$有邊相連的節點。

像這樣，我們可以將每一個點的期望都用其他點的期望來表示。

還是以S1$S_1$為例，我們可以將這個式子移項：

將每個式子都進行這樣的轉換之後，就可以通過高斯消元來求解出每一個Si$S_i$。

其中要注意的是，每一個式子中Sn$S_n$的係數皆為0$0$（因為遊走在走到

從點的期望到邊的期望

接下來的問題是，如何通過點的期望求出邊的期望。

設Ei$E_i$表示編號為i$i$的邊被經過的期望次數，且編號為i$i$的邊連線的兩個節點為xi$x_i$和yi$y_i$，由於期望的性質，我們可以得到：

這樣就可以輕鬆求出每條邊的期望了。

然後，按照開頭所述的貪心思想，就能輕鬆求解該題了。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
 

#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define Fsize 100000
#define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
#define N 500
#define add(x,y) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].from=x,e[ee].to=y,++deg[x])
char Fin[Fsize],*FinNow=Fin,*FinEnd=Fin;
using namespace std;
const double eps=1e-15;
int n,m,ee=0,lnk[N+5],deg[N+5];
struct edge
{
    int from,to,nxt;
    double val;
}e[N*N+5];
inline bool cmp(edge x,edge y)
{
    return x.val-y.val>eps;
}
struct Gauss//高斯消元
{
    double a[N+5][N+5],s[N+5];
    inline void GetDataA(int x,int y,double v) {a[x][y]+=v;}
    inline void GetDataS(int x,double v) {s[x]=v;}
    inline void FindLine(int x)
    {
        register int i=x,j;register double t;
        while(fabs(a[i][x])<eps) ++i;
        for(t=s[i],s[i]=s[x],s[x]=t,j=1;j<=n;++j) t=a[i][j],a[i][j]=a[x][j],a[x][j]=t;
    }
    inline double GetAns()
    {
        register int i,j,k;register double delta,ans=0;
        for(i=1;i<n-1;++i)
        {
            FindLine(i);
            for(j=i+1;j<n;++j) for(s[j]+=(delta=-a[j][i]/a[i][i])*s[i],k=1;k<=n;++k) a[j][k]+=delta*a[i][k];
        }
        for(i=n-1;i;--i) 
        for(s[i]/=a[i][i],j=i-1;j;--j) s[j]-=a[j][i]*s[i];
        for(i=2;i<=ee;++(++i)) e[i].val=s[e[i].from]/deg[e[i].from]+s[e[i].to]/deg[e[i].to];
        for(sort(e+1,e+ee+1,cmp),i=1;i<=ee;++i) ans+=e[i].val*i;
        return ans;
    }
}S;
inline void read(int &x)
{
    x=0;static char ch;
    while(!isdigit(ch=tc()));
    while(x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48,isdigit(ch=tc()));
}
int main()
{
    register int i,j,x,y;
    for(read(n),read(m),i=1;i<=m;++i) read(x),read(y),add(x,y),add(y,x);
    for(i=1;i<n;++i) for(S.GetDataA(i,i,1),j=lnk[i];j;j=e[j].nxt) if(e[j].to^n) S.GetDataA(i,e[j].to,-1.0/deg[e[j].to]);//根據上面推匯出的式子，初始化高斯消元的式子
    return S.GetDataS(1,1),printf("%.3lf",S.GetAns()),0;//得出答案並輸出
}