這個問題很有意思，在生物應用中，經常需要比較兩個（或多個）不同生物體的DNA片段。例如，某種生物的DNA可能為S₁ = ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA，S₂ = GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA。比較兩個DNA串是想要確定它們之間的“相識度”，作為度量兩種生物相近程度的指標。LCS就是尋找第三個串S₃，S₃滿足定義：給定一個序列X = <x₁,x₂,...,x_n>，另一個序列Y = <y₁,y₂,...y_m>即存在一個嚴格遞增的X的下標序列<i₁,i₂,...,i_m>，對所有j = 1,2,...,m，滿足x_ij

　　如果用暴力求解則很容易就達到指數階的運行時間，所以顯然需要優化。通過分析發現LCS問題具有最優子結構性質，於是，考慮用動態規劃是一個非常不錯的方案。

　　顯然早就有許多人對此類問題做過很多工作，不管是理論上還是實際測試，都證明動態規劃可以解決這一類型的問題，有時候甚至是最優方案。如何熟練使用動態規劃的一大難點在於分析問題，要理解如何使用動態規劃來解決問題，首先分析問題是否具有最優子結構是重要的，然後就是通過分析問題得到遞歸公式，只要得到了遞歸公式，我們就可以使用動態規劃了。

　　LCS問題也不例外，經過分析和查資料，我們知道了LCS得最優子結構定理：

　　令X = <x₁,x₂,...,x_n>和Y = <y₁,y₂,...y_m>為兩個序列，Z = <z₁,z₂,...,z_k>為X和Y的任意LCS。

• 如果x_n = y_m，則z_k = x_n = y_m且Z_{k - 1}是X_{n - 1}和Y_{m - 1}的一個LCS；
• 如果x_n ≠ y_m且z_k ≠ x_n，說明Z是X_{n - 1}和Y的一個LCS；
• 如果x_n ≠ y_m且z_k ≠ y_m，說明Z是X和Y_m的一個LCS；

　　然後，我們開始建立最優解的遞歸式。定義dp[i][j]為X_i和Y_j的LCS長度。顯然的，當i = 0或j = 0時，LCS = 0。再結合最優子結構定理，可得到遞歸式：

                (    0;                              當 i = 0 或 j = 0;
dp[i][j] =      {    dp[i - 1][j - 1] + 1            當 i,j > 0 且 xi = yj;
                (    max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) 當 i,j > 0 且 xi != yj.

　　得到遞歸式後，就可以根據公式寫出遞歸算法或動態規劃算法：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <minmax.h>

class Solution {
public:
	int LongestCommonSubsequence(std::string s1, std::string s2) {
		if (s1.empty() || s2.empty())
			return 0;
		std::vector<std::vector<int> > dp(s1.size(), std::vector<int>(s2.size(), 0));
		int length = 0;
		for (int i = 1; i < dp.size(); i++) {
			int j = 1;
			for (; j < dp[0].size(); j++) {
				if (s1[i] == s2[j])
					dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
				else
					dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
				length = max(length, dp[i][j]);
			}
		}
		return length + 1;
	}
};

int main()
{
	Solution solve;
	std::string s1{"ABCBDAB"};
	std::string s2{"ABDCABA"};

	std::cout << solve.LongestCommonSubsequence(s1, s2) << std::endl;

	return 0;
}

　　最後，類似的問題還有LIS（最長遞增子序列）、LPS（最長回文子串）等等。

　　參考資料：

　　　　《算法導論》

LCS（最長公共子序列）