重點 alt clas 裏的 cpu 遞推關系 行存儲 val 填充

1 動態規劃的概念： 把問題轉變成狀態（計算機的本質就是一個狀態機，內存裏的各種數據構成了當前的狀態，CPU只能利用當前的狀態去計算下一個狀態），並且將狀態作為緩存進行存儲，當求第 i 個階段的最優解時，可由前 i-1 個階段的最優解得到。動態規劃的方程是： 　　　　　　 2 動態規劃的理解： 先“記憶”之前的某些事情（狀態），在求最終目標（最優狀態）時，直接使用直接緩存的“記憶”。（“記憶”通過遞歸的方式存儲） 3 動態規劃的特點：

• 最優子結構：當子問題最優時，母問題通過一定的選擇判斷就一定能有最優解的情況。
• 子問題重疊：當母問題和子問題本質上是一個問題的情況。（子問題之間的參數傳遞是重點！也就是狀態轉移方程）

• 邊界：當某個子問題不再需要提出子子問題就可以得到答案的情況，這個答案就是邊界。

4 動態規劃和分治的共同點和不同點：

• 共同點：都是把原問題劃為若幹個子問題，求得子問題的解後，再把子問題的解組合來求得原問題的解。
• 不同點
• 分治用遞歸的方式求解子問題的解，重復計算子問題解；動態規劃則用有記憶功能的遞歸式（遞推），提升了效率。
• 分治的子問題都是獨立的（沒有公共子問題）；動態規劃則允許子問題之間有聯系，有交疊。

5 解題思路： 當確定問題具有屬性：當前狀態和之前的狀態有關，即母問題可以由最優子問題得到，且子問題是重疊的。可以確定為動態規劃問題。 如果問題是要維護一張二維表，首先要確定二維矩陣的行和列各代表什麽（背包問題中，行表示物品，列表示包承重） 此時，解題的重點是找到狀態轉移方程。（說白了要就是遞推關系式的確立） 6 背包問題：

問題闡述 n個重量為w1,w2,w3......wn，價值為v1,v2,v3......vn的物品和一個承重為W的背包，求這些物品的最大價值集（能放入背包中）。 問題分析 設F(i,j)為背包問題的最大價值，即：前i個物品放入承重為j的背包中的最大價值。F(i,j)可以看做是一個子問題，他的解可以由之前的子問題的解組合求出。由第i個物品能不能放入承重為j的背包，可以將F(i,j)的解分為兩個類別：包含第i個物品和不包含第i個物品： 當j-wi<0，F(i,j)=F(i-1,j) ps：j-wi<0表示第i個物品放不進承重為j的背包中 當j-wi>=0，F(i,j)=max( F(i-1,j), vi+F(i-1,j-wi) ) ps：F(i-1,j)不等於F(i-1,j-wi) 我們的目標就是求得F(n,W)。可以將這個問題看成是二維表的動態規劃問題，即：回溯構建一個二維表，將其填滿，表的右下角即為問題的解（自底向上的求解方法） 問題求解 采用兩種方法，分別是自底向上的求解，以及帶有記憶的自頂向下求解。

• 自底向上的動態規劃算法：按子問題從小到大的順序將子問題的解填充到表中，每個子問題都只求解一次。當表填充完畢後，表的右下角的值就是問題的解。

int dp_Backpack(struct backpack bp[n], int W)
{
     int F[n+1][W+1];
     for(int i=0;i<n+1;i++)   
        F[i][0] = 0;
     for(int j=0;j<W+1;j++)   
        F[0][j] = 0;
     for(int i=1;i<n+1;i++)
     {
        for(int j=1;j<W+1;j++)
        {
            if(j<bp[i-1].w)
                F[i][j] = F[i-1][j];
            else
                F[i][j] = max( F[i-1][j], bp[i-1].v+F[i-1][j-bp[i-1].w] );
        }
     }   
     return F[n][W];    
}

• 帶有記憶的自頂向下動態規劃算法：自頂向下的方式求解，①除表中0行和0列的值為0外，初始化表中所有格為null（可以設為-1）；②一旦需要某個格中的值，先檢查該格，若為null，則遞歸調用進行計算並記錄入表，否則直接從表中取值。ps：避免計算不必要的子問題

struct backpack bp[n] = { //初始化bp結構體數組 }
int F[n+1][W+1];
void initF(int F[n+1][W+1])
{
    for(int i=0;i<n+1;i++)    //0列為0
        F[i][0] = 0;
    for(int j=0;j<W+1;j++)    //0行為0
        F[0][j] = 0;
    for(int i=0;i<n+1;i++)    //剩余表中值初始為-1
        for(int j=0;j<W+1;j++)
            F[i][j] = -1;
}
int dp_Backpack(int i, int j)
{
     if(F[i][j] == -1)            //該值需要遞歸計算（在表中從上到下的遞歸計算下來）
     {
         if(j < bp[i-1].w)    
            F[i][j] = dp_Backpack(i-1,j);
         else
            F[i][j] = max( dp_Backpack(i-1,j) , bp[i-1].v+dp_Backpack(i-1,j-bp[i-1].w) );
     }
     return F[i][j];
}
initF(F);
int max_val = dp_Backpack(n,W);

完整代碼 采用以上兩種方法求解01動態規劃問題：

#include <iostream>
using namespace std;
#define N  4                     //物品總數
#define C  5                     //背包的承重
int w[N] = {2,1,3,2};         //物品重量
int v[N] = {12,10,20,15};  //物品價值
int CurWeight = 0;           //當前總重量
int CurValue = 0;              //當前總價值
int x[N] ={0,0,0};               //當前的背包選取情況（1表示選取，0表示不選取）
int MaxValue = 0;             //最大價值
int MaxPack[N] = {0,0,0}; //最大價值下的背包選取情況（1表示選取，0表示不選取）
 
/*用動態規劃解決01背包問題*/
int dp_Backpack_1(int NN, int W)
{
     int n = NN+1;
     int c = W+1;
     int F[n][c];
     for(int i=0;i<n;i++)   
        F[i][0] = 0;
     for(int j=0;j<c;j++)   
        F[0][j] = 0;
     for(int i=1;i<n;i++)
     {
        for(int j=1;j<c;j++)
        {
            if(j<w[i-1])
                F[i][j] = F[i-1][j];
            else
                F[i][j] = max( F[i-1][j], v[i-1]+F[i-1][j-w[i-1]] );
        }
     }   
     return F[NN][W];    
}
 
/*改進的動態規劃求01背包問題*/
void initF(int F[N+1][C+1])
{
    for(int i=0;i<N+1;i++)
        F[i][0] = 0;
    for(int j=0;j<C+1;j++)
        F[0][j] = 0;
    for(int i=1; i<N+1; i++)
        for(int j=1; j<C+1; j++)
            F[i][j] = -1;
}
void printF(int F[N+1][C+1])
{
    for(int i=0; i<N+1; i++)
    {
        for(int j=0; j<C+1; j++)
            cout<<F[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
}
int dp_Backpack_2(int F[N+1][C+1], int i, int j)
{
     if(F[i][j] == -1)        //該值需要遞歸計算（在表中從上到下的遞歸計算下來）
     {
         if(j < w[i-1])        
            F[i][j] = dp_Backpack_2(F,i-1,j);
         else
            F[i][j] = max( dp_Backpack_2(F,i-1,j) , v[i-1]+dp_Backpack_2(F,i-1,j-w[i-1]) );
     }
     return F[i][j];
}
 
int main()
{
    cout<<"use dp_1‘s value: "<<dp_Backpack_1(N,C)<<endl;
    int F[N+1][C+1];
    initF(F);
    cout<<"use dp_2‘s value: "<<dp_Backpack_2(F,N,C)<<endl;
    printF(F);
}

淺談動態規劃