[總結] 第二類Stirling數
阿新 • • 發佈：2018-03-04
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或者
。和第一類Stirling數不同的是，集合內是不考慮次序的，而圓排列是有序的。常常用於解決組合數學中幾類放球模型。描述為：將n個不同的球放入m個無差別的盒子中，要求盒子非空，有幾種方案？
第二類Stirling數要求盒子是無區別的，所以可以得到其方案數公式：
。
（2）如果n個元素已經構成了m個集合，將第n+1個元素插入到任意一個集合。方案數 m*S(n,m) 。
綜合兩種情況得：
。這個跟第二類Stirling數的定義一致。
（2）n個不同的球，放入m個有區別的盒子，不允許盒子為空。
方案數：
。因盒子有區別，乘上盒子的排列即可。
（3）n個不同的球，放入m個無區別的盒子，允許盒子為空。 
。枚舉非空盒的數目便可。
（4）n個不同的球，放入m個有區別的盒子，允許盒子為空。
①方案數：
。同樣可以枚舉非空盒的數目，註意到盒子有區別，乘上一個排列系數。
②既然允許盒子為空，且盒子間有區別，那麽對於每個球有m中選擇，每個球相互獨立。有方案數：
。
上述式子可以應用於第二類Stirling數通項的求解。
上一道例題
我們來介紹第二類Stirling數
定義
第二類Stirling數實際上是集合的一個拆分，表示將n個不同的元素拆分成m個集合的方案數，記為
或者
。和第一類Stirling數不同的是，集合內是不考慮次序的，而圓排列是有序的。常常用於解決組合數學中幾類放球模型。描述為：將n個不同的球放入m個無差別的盒子中，要求盒子非空，有幾種方案？
第二類Stirling數要求盒子是無區別的，所以可以得到其方案數公式：
遞推式
第二類Stirling數的推導和第一類Stirling數類似，可以從定義出發考慮第n+1個元素的情況，假設要把n+1個元素分成m個集合則分析如下：
。
（2）如果n個元素已經構成了m個集合，將第n+1個元素插入到任意一個集合。方案數 m*S(n,m) 。
綜合兩種情況得：
應用舉例
第二類Stirling數主要是用於解決組合數學中的幾類放球模型。主要是針對於球之前有區別的放球模型： （1）n個不同的球，放入m個無區別的盒子，不允許盒子為空。 方案數：
。這個跟第二類Stirling數的定義一致。
（2）n個不同的球，放入m個有區別的盒子，不允許盒子為空。
方案數：
。因盒子有區別，乘上盒子的排列即可。
（3）n個不同的球，放入m個無區別的盒子，允許盒子為空。
。枚舉非空盒的數目便可。
（4）n個不同的球，放入m個有區別的盒子，允許盒子為空。
①方案數：
。同樣可以枚舉非空盒的數目，註意到盒子有區別，乘上一個排列系數。
②既然允許盒子為空，且盒子間有區別，那麽對於每個球有m中選擇，每個球相互獨立。有方案數：
。
上述式子可以應用於第二類Stirling數通項的求解。
通項公式
[總結] 第二類Stirling數