題目描述

　　有一個長度為\(n\)的數組\(A\)和\(n\)個區間\([l_i,r_i]\)，有\(q\)次操作：

　　　\(1~x~y\)：把\(a_x\)改成\(y\)

　　　\(2~x~y\)：求第\(l\)個區間到第\(r\)個區間的區間和的和。

　　\(n,q\leq {10}^5,a_i\leq {10}^9\)

題解

　　分塊。

　　設\(s_i\)為第\(i\)塊的所有區間的區間和，\(d_{i,j}\)為第\(i\)塊有多少個區間包含了\(j\)這個位置。

　　修改時修改樹狀數組和每個區間的區間和。設當前\(a_x=v\)，則\(s_i+=(y-v)\times d_{i,x}\)

　　查詢時完整的區間直接查詢區間和，不完整的區間就暴力查詢。

　　設塊大小為\(m\)，時間復雜度為
\[ T(n)=O(\frac{n}{m}+m\log n) \]
　　當\(m=\sqrt{\frac{n}{\log n}}\)時
\[ T(n)_{\min}=O(n\sqrt{n\log n}) \]

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
 

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
ull c[100010];
int a[100010];
int n;
void add(int x,ull v)
{
    for(;x<=n;x+=x&-x)
        c[x]+=v;
}
ull sum(int x)
{
    ull s=0;
    for(;x;x-=x&-x)
        s+=c[x];
    return s;
}
int
 
 bl;
ull s[1010];
int d[1010][100010];
int l[100010];
int r[100010];
int block[100010];
int left[100010];
int right[100010];
int main()
{
    memset(c,0,sizeof c);
//  freopen("xsy2111.in","r",stdin);
//  freopen("xsy2111.out","w",stdout);
    int m;
    scanf("%d",&n);
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        add(i,a[i]);
    }
    bl=100;
    m=(n+bl-1)/bl;
    for(i=1;i<=n;i++)
        block[i]=(i+bl-1)/bl;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        left[i]=(i-1)*bl+1;
        right[i]=min(i*bl,n);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&l[i],&r[i]);
        s[block[i]]+=sum(r[i])-sum(l[i]-1);
        d[block[i]][l[i]]++;
        if(r[i]<n)
            d[block[i]][r[i]+1]--;
    }
    int j;
    for(i=1;i<=m;i++)
        for(j=2;j<=n;j++)
            d[i][j]+=d[i][j-1];
    int q;
    scanf("%d",&q);
    int op,x,y,k;
    for(i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        if(op==1)
        {
            int v=a[x];
            for(j=1;j<=m;j++)
                s[j]+=ull(y-v)*d[j][x];
            add(x,y-v);
            a[x]=y;
        }
        else
        {
            ull ans=0;
            for(j=block[x];j<=block[y];j++)
                if(left[j]>=x&&right[j]<=y)
                    ans+=s[j];
                else
                {
                    int mi=max(left[j],x);
                    int mx=min(right[j],y);
                    for(k=mi;k<=mx;k++)
                        ans+=sum(r[k])-sum(l[k]-1);
                }
            printf("%llu\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}

【XSY2111】Chef and Churus 分塊 樹狀數組