Kruskal算法

最小生成樹是典型的貪心法求解的問題，假如有N個節點，則最小生成樹會有N-1條邊，要每條邊權值之和最小，只需要每次選出當前權值最小的邊，如果當前邊會形成環路，則這條邊是無效的也就是加入進去會是冗余的，因為這條邊新連通的是兩個已經被別的邊連通了的節點，如果不會形成環路，就加入這條邊，這樣就能保證最終的權值之和最小。

具體寫法：

判環路一般借助並查集來實現。

而每次提取出權值最小的邊，我們可以用結構體來存放邊，然後事先通過排序將所有邊按照權值由小到大進行排序，然後我們就可以在O(1)的時間內找到當前權值最小的邊，當然也可以借助優先隊列。

先定義存放邊的結構體，同時重載了<運算符。

1. struct edge{
2. int a,b,value;
3. edge(int x=0,int y=0,int z=0):a(x),b(y),value(z){}
4. bool operator <(edge x){
5. return value<x.value;
6. }
7. };

進行排序，直接調用庫函數。

1. sort(all,all+N); //all存放全部邊

利用並查集來判斷是否會形成環路，這裏假設存放all數組N個元素的父親節點或者說標誌節點的數組為par[N]，find函數用於尋找邊的兩個端節點所屬集合的根節點或者說標誌節點，join函數完成這兩個節點所屬的兩個集合的合並和判斷是否會形成環路，如果在合並之前兩個節點已經同屬於一個集合，這時如果再將連接這兩個節點的邊放入生成樹的集合，則會形成回路，舉個例子，某個圖只有a,b,c三個節點並且相互連通，我們先進行join(a,b)，join(b,c)操作連通a,b和b,c，這時已經有一條路徑連通三個節點了，如果這時在進行join(a,c)操作連通a,c的話就會形成環路，這裏設定如果不會產生環路的話返回true。

1. int par[maxN];
3. void init(){
4. for(int i=0;i<maxN;i++)par[i]=i;
5. }
7. int find(int x){
8. if(par[x]!=x)par[x]=find(par[x]);
9. return par[x];
10. }
12. bool join(int a,int b){
13. int x=find(a),y=find(b);
14. if(x!=y){
15. par[x]=y;
16. return true;
17. }
18. return false;
19. }

挑選最小生成樹的N-1條邊，如果找不出足夠的N-1條邊，說明不存在生成樹，圖不連通，這裏返回 -1代表無解。

1. long long kruskal(){
2. init();
3. int MSTnum=0;long long ans=0;
4. sort(all.begin(),all.end());
5. for(int i=0;i<all.size();i++)if(join(all[i].a,all[i].b)){ //即不會構成環的情況
6. ans+=all[i].value;
7. MSTnum++;
8. if(MSTnum==N-1)return ans; //找到符合情況的N-1條邊
9. }
10. return -1; //如果能找到N-1條邊這條語句並不會被執行
11. }

如果存在有不存在生成樹的情況只需要檢查一下選出的邊的數量，如果最終這個變量小於N-1，則圖不連通，無解，並查集中也可以判斷一下所有節點在最終是否都並入了一個集合，但這顯然不如前一種方法。
完整代碼示例：（題目：hdu-1863）

1. #include<bits/stdc++.h>
2. using namespace std;
4. const int maxN=10050;
5. int N;
6. struct edge{
7. int a,b,value;
8. edge(int x=0,int y=0,int z=0):a(x),b(y),value(z){}
9. bool operator <(edge x){
10. return value<x.value;
11. }
12. };
13. vector<edge> all;
15. int par[maxN];
17. void init(){
18. for(int i=0;i<maxN;i++)par[i]=i;
19. }
21. int find(int x){
22. if(par[x]!=x)par[x]=find(par[x]);
23. return par[x];
24. }
26. bool join(int a,int b){
27. int x=find(a),y=find(b);
28. if(x!=y){
29. par[x]=y;
30. return true;
31. }
32. return false;
33. }
35. long long kruskal(){
36. init();
37. int MSTnum=0;long long ans=0;
38. sort(all.begin(),all.end());
39. for(int i=0;i<all.size();i++)if(join(all[i].a,all[i].b)){
40. ans+=all[i].value;
41. MSTnum++;
42. if(MSTnum==N-1)return ans;
43. }
44. return -1;
45. }
47. int main(){
48. int m,a,b,c;
49. while(cin>>m>>N&&m){
50. all.clear();
51. for(int i=0;i<m;i++){
52. cin>>a>>b>>c;
53. all.push_back(edge(a,b,c));
54. }
55. int ans=kruskal();
56. if(ans==-1)cout<<‘?‘<<endl;
57. else cout<<ans<<endl;
58. }
59. }

最小生成樹-kruskal算法