矩陣鏈乘問題

應用動態規劃

給定n個矩陣的序列Ai ， 計算A1A2A3*...An. 矩陣乘法滿足結合律，乘法的計算順序不同，需要計算的次數就不同，

• 假設A1是pq的矩陣A2是qr的矩陣，那麽計算A1A2的結果需要計算pq*r次
• 計算A1A2A3 A1(10100) A2(1005) A3(550) 如果按照（A1A2)A3計算，需要計算次數是101005 + 105*50 = 7500次
• 如果按照A1(A2A3)計算，需要計算次數是 100550 + 1010050 = 75000次
• 不同的計算順序計算效率可能會差10倍

矩陣鏈乘可以描述為：給定n個矩陣的鏈，給定一個括號化方案，使得矩陣乘法次數最少

動態規劃的第一步是確定最優子結構

對Ai....Aj求最佳括號化，必然要在中間加一個分割點，原序列轉化為兩個子序列Ai..Ak , Ak+1..Aj
設d[i,j]表示計算鏈i~j所需的最小代價
原問題的代價 = Ai..Ak 的代價 + Ak+1..Aj + 兩者相乘的代價
d[i][j] = d[i][k] + d[k+1][j] + p[k-1] * p[k] * p[k+1] k in (i,j)
如何利用最優子結構的性質 從子問題的最優解構造出原問題的最優解？
每個子問題的求解都要劃分鏈，找到子問題最優的劃分點，然後將子問題的最優解合並起來。
設s[i，j]記錄子鏈i~j的最優劃分點的位置，那麽s[1,n]將鏈劃分為兩個子鏈，如此遞歸的劃分，就得到了原問題的最優劃分方案，

狀態轉移代碼

void MATRIX_CHAIN_ORDER()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        d[i][i] = 0;
    
    for(int l=1;l<n;l++)
    {
        for(int i=1;i+l<=n;i++)
        {
            int j = i+l;
            d[i][j] = INF;
            for(int k =i;k<j;k++)
            {
                int mid = d[i][k] + d[k+1
 
][j] + p[k-1]*p[k]*p[k+1];
                if(mid<d[i][j])
                {
                    d[i][j] = mid;
                    s[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
}

如此，計算出了每個區間的最優劃分點。時間復雜度O(n^3)

最後一步：構造最優解

根據每個區間的最優劃分點還原出結果

void mer(int x,int y)
{
    if(x>y)return;
    if(x==y)printf("A%d",x);
    else {
        printf("(");
        mer(x,s[x][y]);
        printf("*");
        mer(s[x][y]+1,y);
        printf(")");
    }
}

矩陣鏈乘問題