P1490 買蛋糕

題目描述

野貓過生日，大家當然會送禮物了（咳咳，沒送禮物的同誌註意了哈！！），由於不知道送什麽好，又考慮到實用性等其他問題，大家決定合夥給野貓買一個生日蛋糕。大家不知道最後要買的蛋糕的準確價格，而只會給蛋糕估價，即要買一個不超過多少錢的蛋糕。眾OIer借此發揮：能否用最少的錢幣數去湊成估價範圍內的所有價值，使得不管蛋糕價值多少，都不用找錢……

現在問題由此引出：對於一個給定的n，能否用最少的不等的正整數去組成n以內（包括n）的所有的正整數呢？如果能，最少需要多少個正整數，用最少個數又有多少不同的組成方法呢？

輸入輸出格式

輸入格式：

只有一行包含一個整數n(1<=n<=1000)。

輸出格式：

一行兩個數，第一個數是最少需要多少個數，第二個數是用最少個數的組成方案個數。兩個答案用空格分隔。

• 首先明確第一個問題：這個最小的正整數是多少？

也許你可以打表看出來，也許不能，但別急，我們有看似靠譜一點的思維方法

看看樣例：6

可行方案：

①\(1\) \(2\) \(3\);

②\(1\) \(2\) \(4\).

我們發現，對於方案①，組成3的時候有兩種方法（1+2或3），而方案②只有一種。換而言之，3的利用是有浪費的。而不浪費的方案②還可以組成7。

那麽，我們咋讓她(每個數)都用好自己呢

很簡單，百合就行了

聯想一下二進制位下的數

\(1\),\(10\),\(11\)

可不是嘛，這個\(2^i\)的每個數利用率可高了

由此可知，二進制的位數即為這個最小的正整數。

• 想明白第一問以後，應該給出了一個相對的第二問的思維導向。（當然不絕對哈）

當每個數的利用率最大的時候，她們能夠湊成的最大整數即為她們的和，這點是毋庸置疑的。

那麽，在利用率相對不是那麽大的時候呢？

我們註意到，此時已經有了一個限制條件：已有的最小正整數

手動模擬一下，確實是仍然成立的。（其實是不太會證啦）

這時候，我們就把參與量已使用的各數之和和湊成的最大整數搞到一起去了

考慮\(dp[k]\)代表湊成時\(k\)的方案數。看看這時候還要壓哪些信息進去。

顯然，剩下的必要信息還有第\(i\)個數和第\(i\)個數的值\(j\)

\(dp[i][j][k]\)表示已選\(i\)個數，第\(i\)個數為\(j\)，前\(i\)個數和為\(k\)（湊成的最大整數位\(k\)）的時候的方案數

轉移方程 \(dp[i+1][l][k+l]+=dp[i][j][k];\)

其中\(l\)為枚舉的下一個填充數

核心代碼：

    dp[1][1][1]=1;
    for(int i=1;i<ans;i++)
        for(int j=i;j<=(1<<(i-1));j++)
            for(int k=i*(i-1)/2;k<(1<<i);k++)
                for(int l=j+1;l<=k+1;l++)
                    if(l+k<=n)
                        dp[i+1][l][k+l]+=dp[i][j][k];
                    else
                        dp[i+1][l][n]+=dp[i][j][k];

註意\(j,k,l\)的上下界，都是被已經得到的第一問給約束住了

當然，也沒必要跑這麽死，比如\(k\)從\(i\)開始反而會快一些。

至於\(if\)和\(else\)的判斷，是為了方便求最後結果的一點點小貪心了。

2018.5.2

洛谷 P1490 解題報告