P1450.硬幣購物

題目描述

硬幣購物一共有\(4\)種硬幣。面值分別為\(c1,c2,c3,c4\)。某人去商店買東西，去了\(tot\)次。每次帶\(d_i\)枚\(c_i\)硬幣，買\(s_i\)的價值的東西。請問每次有多少種付款方法。

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第一行 \(c_1,c_2,c_3,c_4,tot\) 下面\(tot\)行 \(d_1,d_2,d_3,d_4,s\)

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每次的方法數

說明

\(di,s<=100000\)

\(tot<=1000\)

很容易想到的，轉化成多重背包

        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=4
 
;i++)
            for(int k=s;k>=0;k--)
                if(dp[k])
                    for(int j=1;j<=a[i];j++)
                        dp[k+j*c[i]]+=dp[k];
        printf("%d\n",dp[s]);

結果當然是\(t\)飛啦

如果我們當成完全背包來做的話，當放入物品個數大於限制條件時的一部分是非法的。

假設僅僅針對價值為\(c\)的物品\(i\),存在數量上限\(d\),要湊成的錢數為\(s\).

\(dp[s]\)

\(dp[s-c*(d+1)]\)為裝無限個\(i\)時湊成\(s-c*(d+1)\)的方案數

相減得到什麽？ 不僅是裝上限為\(d\)個時的方案數嗎

然而這只是針對一個物品而言，如果有多個物品呢？

存在多個約束相交的情況，那麽根據容斥原理，多的減，少的回加即可。

code：

#include <cstdio>
#define ll long long
const int N=100010;
int c[5],tot,a[5],s;
ll dp[N];
int main()
{
    for(int i=1;i<=4;i++) scanf("
 
%d",c+i);
    scanf("%d",&tot);
    dp[0]=1;
    for(int i=1;i<=4;i++)
        for(int j=c[i];j<=N;j++)
            dp[j]+=dp[j-c[i]];
    while(tot--)
    {
        for(int i=1;i<=4;i++) scanf("%d",a+i);
        scanf("%d",&s);
        ll ans=0;
        for(int i=0;i<=15;i++)
        {
            int flag=0,t=0;
            for(int j=1;j<=4;j++)
                if((i>>j-1)&1)
                {
                    t+=c[j]*(a[j]+1);
                    flag^=1;
                }
            ll tt=(s>=t?dp[s-t]:0);
            ans+=(flag?-tt:tt);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

註意這時候枚舉子集的方法。

2018.5.4

洛谷 P1450 解題報告