求最短路徑(Bellman-Ford算法與Dijkstra算法)
阿新 • • 發佈：2018-06-18
dijk jks 結點 include 分組 負環 由於 blog 進行
前言
Dijkstra算法是處理單源最短路徑的有效算法，但它局限於邊的權值非負的情況，若圖中出現權值為負的邊，Dijkstra算法就會失效，求出的最短路徑就可能是錯的。這時候，就需要使用其他的算法來求解最短路徑，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一個。
在網絡路由中，RIP協議(距離向量路由算法)一般用Bellman-Ford算法，同時由於簡單性所以也適用於分布式系統；但是它的復雜度是O(VE)，比Dijkstra算法要慢上許多。而OSPF協議，鏈路狀態分組創建的時候一般用Dijkstra算法，因為它的速度快。
Bellman-Ford算法
算法步驟 1.初始化：將除源點外的所有頂點的最短距離估計值 dist[v] ← +∞, dist[s] ←0; 2.叠代求解：反復對邊集E中的每條邊進行松弛操作，使得頂點集V中的每個頂點v的最短距離估計值逐步逼近其最短距離；（運行|v|-1次） 3.檢驗負權回路：判斷邊集E中的每一條邊的兩個端點是否收斂。如果存在未收斂的頂點，則算法返回false，表明問題無解；否則算法返回true，並且從源點可達的頂點v的最短距離保存在 dist[v]中。
該算法是利用動態規劃的思想，自底向上的方式計算最短路徑。
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxnum = 100;
const int maxint = 99999;
// 邊，
typedef struct Edge {
int u, v; // 起點，重點
int weight; // 邊的權值
}Edge;
Edge edge[maxnum]; // 保存邊的值
int dist[maxnum]; // 結點到源點最小距離
int nodenum, edgenum, source; // 結點數，邊數，源點 Dijlstra算法
1.初始時，S只包含起點s；U包含除s外的其他頂點，且U中頂點的距離為”起點s到該頂點的距離”[例如，U中頂點v的距離為(s,v)的長度，然後s和v不相鄰，則v的距離為∞]。
2.從U中選出”距離最短的頂點k”，並將頂點k加入到S中；同時，從U中移除頂點k。
3.更新U中各個頂點到起點s的距離。之所以更新U中頂點的距離，是由於上一步中確定了k是求出最短路徑的頂點，從而可以利用k來更新其它頂點的距離；例如，(s,v)的距離可能大於(s,k)+(k,v)的距離。
4.重復步驟(2)和(3)，直到遍歷完所有頂點。參照這篇博客可以對Dijlstra算法有一個清楚地理解。
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxnum = 100;
const int maxint = 999999;
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
{
bool s[maxnum]; // 判斷是否已存入該點到S集合中
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
dist[i] = c[v][i];
s[i] = 0; // 初始都未用過該點
if(dist[i] == maxint)
prev[i] = 0;
else
prev[i] = v;
}
dist[v] = 0;
s[v] = 1;
// 依次將未放入S集合的結點中，取dist[]最小值的結點，放入結合S中
// 一旦S包含了所有V中頂點，dist就記錄了從源點到所有其他頂點之間的最短路徑長度
for(int i=2; i<=n; ++i)
{
int tmp = maxint;
int u = v;
// 找出當前未使用的點j的dist[j]最小值
for(int j=1; j<=n; ++j)
if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
{
u = j; // u保存當前鄰接點中距離最小的點的號碼
tmp = dist[j];
}
s[u] = 1; // 表示u點已存入S集合中
// 更新dist
for(int j=1; j<=n; ++j)
if((!s[j]) && c[u][j]<maxint)
{
int newdist = dist[u] + c[u][j];
if(newdist < dist[j])
{
dist[j] = newdist;
prev[j] = u;
}
}
}
}
void searchPath(int *prev,int v, int u)
{
int que[maxnum];
int tot = 1;
que[tot] = u;
tot++;
int tmp = prev[u];
while(tmp != v)
{
que[tot] = tmp;
tot++;
tmp = prev[tmp];
}
que[tot] = v;
for(int i=tot; i>=1; --i)
if(i != 1)
cout << que[i] << " -> ";
else
cout << que[i] << endl;
}
int main()
{
freopen("input.txt", "r", stdin);
// 各數組都從下標1開始
int dist[maxnum]; // 表示當前點到源點的最短路徑長度
int prev[maxnum]; // 記錄當前點的前一個結點
int c[maxnum][maxnum]; // 記錄圖的兩點間路徑長度
int n, line; // 圖的結點數和路徑數
// 輸入結點數
cin >> n;
// 輸入路徑數
cin >> line;
int p, q, len; // 輸入p, q兩點及其路徑長度
// 初始化c[][]為maxint
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=n; ++j)
c[i][j] = maxint;
for(int i=1; i<=line; ++i)
{
cin >> p >> q >> len;
if(len < c[p][q]) // 有重邊
{
c[p][q] = len; // p指向q
c[q][p] = len; // q指向p，這樣表示無向圖
}
}
for(int i=1; i<=n; ++i)
dist[i] = maxint;
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
for(int j=1; j<=n; ++j)
printf("%8d", c[i][j]);
printf("\n");
}
Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);
// 最短路徑長度
cout << "源點到最後一個頂點的最短路徑長度: " << dist[n] << endl;
// 路徑
cout << "源點到最後一個頂點的路徑為: ";
searchPath(prev, 1, n);
}求最短路徑(Bellman-Ford算法與Dijkstra算法)