1.Dijkstra算法的局限性

像上圖，如果用dijkstra算法的話就會出錯，因為如果從1開始，第一步dist[2] = 7, dist[3] = 5;在其中找出最小的邊是dist[3] = 5;然後更新dist[2] = 0，最終得到dist[2] = 0,dist[3] = 5，而實際上dist[3] = 2；所以如果圖中含有負權值，dijkstra失效

2.Bellman-Ford算法思想

適用前提：沒有負環（或稱為負權值回路），因為有負環的話距離為負無窮。

構造一個最短路徑長度數組序列dist¹[u] dist²[u]...dist^n-1[u]，其中：
dist¹[u]為從源點v0出發到終點u的只經過一條邊的最短路徑長度，並有dist¹

dist²[u]為從源點v0出發最多經過不構成負權值回路的兩條邊到終點u的最短路徑長度

dist³[u]為從源點v0出發最多經過不構成負權值回路的三條邊到終點u的最短路徑長度

................

dist^n-1[u]為從源點v0出發最多經過不構成負權值回路的n-1條邊到終點u的最短路徑長度

算法最終目的是計算出dist^n-1[u]，即為源點到頂點u的最短路徑長度

初始：dist¹[u] = Edge[v0][u]

遞推：dist^k[u] = min(dist^k-1[u], min{dist^k-1[j] + Edge[j][u]})（松弛操作，叠代n-2次）

3.本質思想：
在從dist^k-1[u]遞推到dist^k[u]的時候，Bellman-Ford算法的本質是對每條邊<u, v>進行判斷：設邊<u, v>的權值為w(u, v)，如果邊<u, v>的引入會使得dist^k-1[v]的值再減小，就要修改dist^k-1[v]，即：如果dist^k-1[u] + w(u, v) < dist^k-1[v],，那麽dist^k[v] = dist^k-1[u] + w(u, v)，這個稱為一次松弛

所以遞推公式可改為：

初始：dist⁰[u] = INF dist⁰[v0] = 0（v0是源點）

遞推：對於每條邊(u, v) dist^k

如果叠代n-1次後，再次叠代，如果此時還有dist會更新，說明存在負環。

無負環的時候，叠代更新次數最多為n-1次，所以設置一個更新變量可以在不更新的時候直接跳出循環

拓展：

Bellman-Ford算法還能用來求最長路，思路是dist數組含義是從原點出發到其他每個頂點的最長路徑的長度，初始時，各個頂點dist為0，在從dist^k-1[u]遞推到dist^k[u]的時候，Bellman-Ford算法的本質是對每條邊<u, v>進行判斷：設邊<u, v>的權值為w(u, v)，如果邊<u, v>的引入會使得dist^k-1[v]的值再增加，就要修改dist^k-1[v]，即：如果dist^k-1[u] + w(u, v) > dist^k-1[v],，那麽dist^k[v] = dist^k-1[u] + w(u, v)

4.代碼實現：

輸入：

7 10
0 1 6
0 2 5
0 3 5
1 4 -1
2 1 -2
2 4 1
3 2 -2
3 5 -1
4 6 3
5 6 3

輸出：

從0到1距離是： 1 0->3->2->1
從0到2距離是： 3 0->3->2
從0到3距離是： 5 0->3
從0到4距離是： 0 0->3->2->1->4
從0到5距離是： 4 0->3->5
從0到6距離是： 3 0->3->2->1->4->6
不存在負環

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 #include<queue>
 7 #include<stack>
 8 #include<map>
 9 #include<sstream>
10 using namespace std;
11 typedef long long ll;
12 const int maxn = 1000 + 10;
13 const int INF = 1 << 25;
14 int T, n, m, cases;
15 struct edge
16 {
17     int u, v, w;
18 };
19 edge a[maxn];
20 int path[maxn], d[maxn];
21 bool Bellman(int v0)
22 {
23     for(int i = 0; i < n; i++)d[i] = INF, path[i] = -1;
24     d[v0] = 0;
25     for(int i = 0; i < n; i++)//叠代n次，如果第n次還在更新，說明有負環
26     {
27         bool update = 0;
28         for(int j = 0; j < m; j++)
29         {
30             int x = a[j].u, y = a[j].v;
31             //cout<<x<<" "<<y<<" "<<a[j].w<<endl;
32             if(d[x] < INF && d[x] + a[j].w < d[y])
33             {
34                 d[y] = d[x] + a[j].w;
35                 path[y] = x;
36                 update = 1;
37                 if(i == n - 1)//說明第n次還在更新
38                 {
39                     return true;//返回真，真的存在負環
40                 }
41             }
42         }
43         if(!update)break;//如果沒更新了，說明已經松弛完畢
44     }
45     for(int i = 0; i < n; i++)
46     {
47         if(i == v0)continue;
48         printf("從%d到%d距離是：%2d   ", v0, i, d[i]);
49         stack<int>q;
50         int x = i;
51         while(path[x] != -1)
52         {
53             q.push(x);
54             x = path[x];
55         }
56         cout<<v0;
57         while(!q.empty())
58         {
59             cout<<"->"<<q.top();
60             q.pop();
61         }
62         cout<<endl;
63     }
64     return false;
65 }
66 int main()
67 {
68     cin >> n >> m;
69     for(int i = 0; i < m; i++)cin >> a[i].u >> a[i].v >> a[i].w;
70     if(Bellman(0))cout<<"存在負環"<<endl;
71     else cout<<"不存在負環"<<endl;
72     return 0;
73 }

單源最短路徑---Bellman-Ford算法