基於上次發blog，有位朋友讓我多寫些基本概念，就利用這次詳解偉大的SPFA算法來談。以下是百科上的算法簡介，很清楚，看一遍再繼續對理解程序很有幫助！（當然後面我也會解釋）

SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）（隊列優化）算法是求單源最短路徑的一種算法，它還有一個重要的功能是判負環（在差分約束系統中會得以體現），在Bellman-ford算法的基礎上加上一個隊列優化，減少了冗余的松弛操作，是一種高效的最短路算法。

求單源最短路的SPFA算法的全稱是：Shortest Path Faster Algorithm，是西南交通大學段凡丁於1994年發表的（中國人的算法就是牛）。從名字我們就可以看出，這種算法在效率上一定有過人之處。很多時候，給定的圖存在負權邊，這時類似Dijkstra算法等便沒有了用武之地，而Bellman-Ford算法的復雜度又過高，SPFA算法便派上用場了。簡潔起見，我們約定加權有向圖G不存在負權回路，即最短路徑一定存在。如果某個點進入隊列的次數超過N次則存在負環（SPFA無法處理帶負環的圖）。當然，我們可以在執行該算法前做一次拓撲排序，以判斷是否存在負權回路，但這不是我們討論的重點。我們用數組d記錄每個結點的最短路徑估計值，而且用鄰接表來存儲圖G。我們采取的方法是動態逼近法：設立一個先進先出的隊列用來保存待優化的結點，優化時每次取出隊首結點u，並且用u點當前的最短路徑估計值對離開u點所指向的結點v進行松弛操作，如果v點的最短路徑估計值有所調整，且v點不在當前的隊列中，就將v點放入隊尾。這樣不斷從隊列中取出結點來進行松弛操作，直至隊列空為止。

順便解釋一下“松弛”：松弛操作是指對於每個頂點v∈V，都設置一個屬性d[v]，用來描述從源點s到v的最短路徑上權值的上界，稱為最短路徑估計（shortest-path estimate）。 ————摘自《百度百科》

它的定義在上面第一句話解釋的不能再簡潔了，理解上述就好了。

至少我認為，SPFA算法是所有單源最短路算法中最實用的一種。（大佬們可以有其他想法，在此僅表示本人觀點）

還是用一道求最短路徑的模板題來解釋：

題目描述

我用的是模擬鏈表存圖，你用其他的鄰接矩陣也可以（要看點的規模，一般太大用鄰接矩陣很劃不來）

來吧，不廢話，上代碼：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 10005, M = 200005, oo = 0x3fffffff; //N表示最大點的個數 ，M表示最大邊的個數 ，oo是無窮大
struct Edge{
int to,wei,next; //鄰接鏈表的套路，to鄰接頂點，wei表邊的權重，next表鏈表指針
};
Edge edge[M]; //儲存邊的信息
int n,m,source,head[N],x,y,c,en(0),dist[N]; //dist【i】表示起點到 i的最短距離
bool inq[N];
queue<int> q;

void Addedge(int x,int y,int c) //存圖 ，x到y有一條權重為c的邊
{
edge[en].to=y;
edge[en].wei=c;
edge[en].next=head[x];
head[x]=en++;

}

void init()
{
cin>>n>>m;
memset(head,-1,sizeof(head)); //清零，作為每個點dfs的終止標誌
fill(inq,inq+n+1,false); //一開始都不在隊列中
while (m--)
{
cin>>x>>y>>c;
Addedge(x,y,c);
Addedge(y,x,c);
}
fill(dist,dist+n+1,oo); //先初始化為無窮大
source=1; //起點

}

void spfa() //這是套路
{
q.push(source);
dist[source]=0;
inq[source]=true;
while (!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
inq[u]=false;
for (int p=head[u];p!=-1;p=edge[p].next) //遍歷整張圖
{
int v=edge[p].to;
if (dist[v]>dist[u]+edge[p].wei) //如果到v的距離大於到u再加上u到v的距離，就更新
{
dist[v]=dist[u]+edge[p].wei;
if (inq[v]!=true)
{
q.push(v);
inq[v]=true; //指標記，防止重復進入，否則隊列沒有意義
}
}
}

}

}

void output()
{
cout<<dist[n]<<endl; //輸出到終點的距離就行了，其實你想輸出到哪點的最短距離都可以
}

int main()
{
init();//輸入存圖
spfa();//算法核心
output();//輸出答案

return 0;
}

代碼很簡潔，希望大家理解！

了解SPFA是十分有用的，如果認為自己掌握的不錯，就可以去做[NOIP提高組2009]最優貿易。提示：正反兩遍SPFA。

題解附上，最好先不看：

探秘SPFA——強大的單源最短路徑算法