0-1 背包問題

給定 n 種物品和一個容量為 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其價值為 vi 。

問：應該如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中的物品的總價值最大？

面對每個物品，我們只有選擇拿取或者不拿兩種選擇，不能選擇裝入某物品的一部分，也不能裝入同一物品多次。

解決辦法：聲明一個 大小為 m[n][c] 的二維數組，m[ i ][ j ] 表示 在面對第 i 件物品，且背包容量為 j 時所能獲得的最大價值 ，那麽我們可以很容易分析得出 m[i][j] 的計算方法，

（1）. j < w[i] 的情況，這時候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能選擇不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=w[i] 的情況，這時背包容量可以放下第 i 件物品，我們就要考慮拿這件物品是否能獲取更大的價值。

如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 這裏的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考慮了i-1件物品，背包容量為j-w[i]時的最大價值，也是相當於為第i件物品騰出了w[i]的空間。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿還是不拿，自然是比較這兩種情況那種價值最大。

例題

#include<iostream>
using namespace std;
int dp[101][101] = {0},x[101] = {0};
int m[101] = {0,15,10,12,8};  //投資 
int v[101] = {0,12,8,9,5};    //收益 
int c = 30,n = 4; //c為總重， n為種類數 
void trace(){
    for(int i = 4; i > 1; i--){
        if(dp[i][c] == dp[i-1][c])
            x[i] = 0;
        else{
            x[i] = 1;
            c -= m[i];
        }
    }
    x[1] = dp[1][c]>0 ? 1:0; 
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cout << x[i] << " ";  
    cout << endl;
}
int main(){

    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= c; j++){
            if(j >= m[i]){
                dp[i][j] = dp[i-1][j-m[i]]+v[i]>dp[i-1][j] ? dp[i-1][j-m[i]]+v[i]:dp[i-1][j];
            }
            else
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= c; j++){
            cout << dp[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[n][c] << endl;
    trace();         // 輸出方案 
                
    return 0;
} 


 

結果

0 1 1 1表示選擇後3個，即B C D項目

動態規劃——01背包問題