轉自：byvoid：有向圖強連通分量的Tarjan算法

Tarjan算法是基於對圖深度優先搜索的算法，每個強連通分量為搜索樹中的一棵子樹。搜索時，把當前搜索樹中未處理的節點加入一個堆棧，回溯時可以判斷棧頂到棧中的所有節點是否為一個強連通分量。

有兩個概念：1.時間戳，2.追溯值

時間戳是dfs遍歷節點的次序。

定義DFN(u)為節點u搜索的次序編號(時間戳)，Low(u)為u或u的子樹能夠追溯到的棧中節點最小的次序號。由定義可以得出：

1 Low(u)=min{
2     DFN(u),   // 自己的次序號
3     Low(v),   //(u,v)為樹枝邊，u為v的父節點
 

4     DFN(v),   //(u,v)為指向棧中節點的後向邊(非橫叉邊)
5 }

即以下節點的最小值：

1. 自己、子樹節點的次序號

2. 指向棧中節點(後向邊節點)的次序號[等價於 DFN(v)<DFN(u)且v不為u的父親節點]，這裏不是橫叉邊(指向不在棧中的節點)。

當DFN(u)=Low(u)時，以u為根的搜索子樹上所有節點是一個強連通分量。

偽碼：

 1 tarjan(u)
 2 {
 3     DFN[u]=Low[u]=++Index     // 為節點u設定次序編號和Low初值
 4     Stack.push(u)             //
 
 將節點u壓入棧中
 5     for each (u, v) in E      // 枚舉每一條鄰邊
 6         if (v is not visted)  // 如果節點v未被訪問過
 7             tarjan(v)         // 繼續向下找
 8             Low[u] = min(Low[u], Low[v])　　　　　
 9         else if (v in S)      // 如果節點v還在棧內
10             Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
11     if (DFN[u] == Low[u])     //
 
 如果節點u是強連通分量的根
12         repeat
13             v = S.pop         // 將v退棧，為該強連通分量中一個頂點
14             print v
15         until (u== v)
16 }

運行Tarjan算法的過程中，每個頂點都被訪問了一次，且只進出了一次堆棧，每條邊也只被訪問了一次，所以該算法的時間復雜度為O(N+M)。

一個頂點u是割點，當且僅當滿足(1)或(2)

(1) u為樹根，且u有多於一個子樹。

(2) u不為樹根，且滿足存在(u,v)為樹枝邊(或稱父子邊，即u為v在搜索樹中的父親)，使得DFN(u)<=Low(v)。即：若某點的子樹們能回到的點大於等於自己，則該點為割點

一條無向邊(u,v)是橋，當且僅當(u,v)為樹枝邊，且滿足DFN(u)<Low(v)。

Tarjan算法【強連通分量】