老師的具體數學作業要電子版了，那就把我自己的解答放在這裏。

10.

\[ \begin{array}{l} \left \lceil \frac{2x+1} {2} \right \rceil-\left \lceil \frac{2x+1} {4} \right \rceil+\left \lfloor \frac{2x+1} {4} \right \rfloor \=\left \lceil \frac{2x+1} {2} \right \rceil-(\left \lceil \frac{2x+1} {4} \right \rceil-\left \lfloor \frac{2x+1} {4} \right \rfloor)\=\left \lceil x+\frac{1} {2} \right \rceil-[\frac{2x+1}{4}不是整數] \end{array} \]

若\(\frac{2x+1}{4}\)是整數，則：
\[ \begin{array}{l}2x+1=4N \quad (N為整數)\2x=4N-1\x=2N-\frac{1}{2} \end{array} \]

• 若\({x}\neq\frac{1} {2}\)，則原式=\(\left \lceil x+\frac{1}{2} \right \rceil-1=\left \lfloor x \right \rfloor\)
• 若\(x=\frac{1} {2}\)，則原式=\(\left \lceil x+\frac{1}{2} \right \rceil=x+\frac{1}{2}=\left \lceil x \right\rceil\)

12.

\[ \begin{array}{l}\left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil=\left \lfloor \frac{n+m-1}{m} \right \rfloor\\left \lfloor \frac{n+m-1}{m} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{n}{m} +1-\frac{1}{m}\right \rfloor=\left \lfloor \frac{n-1}{m} \right \rfloor+1 \end{array} \]

則證明:\(\left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil-\left \lfloor \frac{n-1}{m} \right \rfloor=1\)

易知:\(0<\frac{n}{m}-\frac{n-1}{m}\leq1\)（當且僅當m=1時，等式成立）

• 當m=1時，\(\left \lceil n \right \rceil-\left \lfloor n-1 \right \rfloor=n-n+1=1成立\)

• 當\(m\neq1\)時，

  • 若\(\frac{n}{m}\)為整數，則\(\frac{n-1}{m}<\frac{n-1}{m}且\frac{n-1}{m}不為整數\)

    則\(\left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil-\left \lfloor \frac{n-1}{m} \right \rfloor=\frac{n}{m}-\left \lfloor \frac{n-1}{m}\right \rfloor=1\)

  • 若\(\frac{n-1}{m}\)為整數，則\(\frac{n-1}{m}<\frac{n-1}{m}且\frac{n}{m}不為整數\)

    則\(\left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil-\left \lfloor \frac{n-1}{m} \right \rfloor=\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor-\frac{n-1}{m}=1\)

  • 若\(\frac{n-1}{m}和\frac{n}{m}\)均非整數，則n mod m<1 ,(n-1) mod m<1且\(\left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{n-1}{m} \right \rfloor\), 則\(\left \lceil \frac{n}{m} \right \rceil-\left \lfloor \frac{n-1}{m} \right \rfloor=1\)

證畢

23.

設第n個元素為\(x_n\)且為第m組, 則\(x_n=m\)

此時:
\[ \begin{array}{l} \frac{1}{2}m(m-1)<n\leq\frac{1}{2}m(m+1)\m^2-m<2n\leq m^2+m\m^2-m+\frac{1}{4}<2n<m^2+m+\frac{1}{4} \quad m,n均為正整數，左側小於2n，在加上\frac{1}{4}，大小關系不改變\(m-\frac{1}{2})^2<2n<(m+\frac{1}{2})^2\m-\frac{1}{2}<\sqrt{2n}<m+\frac{1}{2}\m<\sqrt{2n}+\frac{1}{2}<m+1\則m=\left \lfloor \sqrt{2n}+\frac{1}{2} \right \rfloor\即x_n=\left \lfloor \sqrt{2n}+\frac{1}{2} \right \rfloor\\ \end{array} \]

約瑟夫環

n個人，每隔q個人去掉1人，最終剩下的人的編號?

n個人，初始編號為1, 2, ..., n

重新編號，第1個人：n+1，第2個人：n+2，直至第q個人：去掉，第q+1個人：n+q

假設當前去掉的人的編號為kq，此時去掉了k個人，接下來的人的編號為n+k(q-1)+1

也即：原來kq+d -> 現在n+k(q-1)+d

最後去掉的人編號為nq

令N=n+k(q-1)+d

上一次編號為kq+d=kq+N-n-k(q-1)=k+N-n

\(k=\frac{N-n-d}{q-1}=\left \lfloor \frac{N-n-1}{q-1} \right \rfloor\)

上一次編號為：

\(\left \lfloor \frac{N-n-1}{q-1} \right \rfloor+N-n\)

令D=qn+1-N替代N

則

\[ \begin{array}{l}D = qn + 1 - N \\ = qn + 1 - \left( {\left\lfloor {\frac{ {(qn + 1 - D) - n - 1}}{ {q - 1}}} \right\rfloor + qn + 1 - D - n} \right)\\ = n + D - \left\lfloor {\frac{ {(q - 1)n - D}}{ {q - 1}}} \right\rfloor \\ = D - \left\lfloor {\frac{ { - D}}{ {q - 1}}} \right\rfloor \\ = D + \left\lceil {\frac{D}{ {q - 1}}} \right\rceil \\ = \left\lceil {\frac{q}{ {q - 1}}D} \right\rceil \end{array} \]

具體數學第三章作業解答